บทที่ 11 การกลิ้ง ทอร์ค และโมเมนต์ตัมเชิงมุม

บทที่ 11 การกลิ้ง ทอร์ค และโมเมนต์ตัมเชิงมุม

เมื่อวัตถุหมุน สามารถอธิบายได้ในเทอมของทอร์คและพลังงานจลน์ในการหมุน แต่ทอร์คสามรถเขียนอยู่ในรูปของเวกเตอร์ได้ เมื่อแรงมีผลต่อการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงเส้น ทอร์คก็ย่อมมีผลต่อการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุมด้วยเช่นกัน อาศัยความคล้ายกันโดยใช้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้นเราจะได้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

11.1 ทอร์คในรูปของเวกเตอร์

11.2 โมเมนตัมเชิงมุมและทอร์ค

11.3 กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

11.4 ไจโรสโคป

คำถาม เมื่อแตะฟุตบอลให้หมุน ทำไมฟุตบอลจึงไม่รักษาทิศทางการเคลื่อนที่

11.1 ทอร์คในรูปของเวกเตอร์

จากบทที่แล้ว ขนาดของทอร์คคือผลคูณของแรงที่ลากไปตั้งฉาก กับแขนหมุน หรือผลคูณของแขนหมุนที่ลากไปตั้งฉาก กับแนวแรง ดังรูปที่ 11.1

= =

สมการที่ได้จะคล้ายกับผลคูรแบบครอส สามารถเขียนใหม่ได้เป็น

รูปที่ 11.1

หมายความว่าตามรูปที่ 11.1 ทิศของทอร์คจะมีทิศพุ่งออกจากระนาบของหน้ากระดาษ (ตามแกน ) ตามรูปที่ 11.2 เพื่อไม่ให้ยุ่งยากในการคิดจึงนำมากล่าวในบทนี้ เนื่องจากทิศของทอร์คจะขึ้นอยู่กับระนาบที่วัตถุหมุน ในกรณีนี้เมื่อวัตถุหมุนในระนาบ ปัญหาที่น่าสนใจคือทอร์คเป็นเวกเตอร์และมีค่าคงที่ จะมีทิศเพียงทิศเดียวเท่านั้นที่ตั้งฉากกับระนาบ นั่นคือแกน

แต่เนื่องจากทิศที่ตั้งฉากกับระนาบ มีสองทิศคือ

กับ เพื่อให้เป็นไปในทางเดียวกันเราใช้กฎมือขวาในการกำหนดทิศทาง

รูปที่ 11.2

กฎมือขวา

- ให้นิ้วทั้งสี่ชี้ตามทิศของ

- กำนิ้วทั้งสี่เข้าหาแรง

- นิ้วหัวแม่มือจะแสดงทิศของทอร์ค

รูปที่ 1.3 กฎมือขวา

ตัวอย่างที่ 11.1 ไม้เมตรมวล วางอยู่ในแนวราบปลายด้านหนึ่งชี้ไปทางทิศเหนือปลายอีกด้านหนึ่งตรึงติดอยู่กับที่ เมื่อปล่อยให้ไม้เมตรเคลื่อนที่ดังรูปที่ 11.4 จงหาทอร์คที่เกิดจากแรงโน้มถ่วง

วิธีทำ จากนิยามของทอร์ค

รูปที่ 11.4 จากกฎมือขวาทอร์คจะมีทิศตามทิศตะวันตก (แกน)

11.2 โมเมนตัมเชิงมุมและทอร์ค

อาศัยกฎการเคลื่อนที่ข้อสองของนิวตันและนิยามของความเร่งจะได้นิยามของโมเมนตัมเชิงเส้น

ในทำนองเดียวกันอาศัยกฎข้อสองของนิวตันสำหรับการหมุนและนิยามของความเร่งเชิงมุม จะได้สมการโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุแข็งเกร็ง

กฎข้อสองของนิวตันสำหรับการหมุน

โมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุแข็งเกร็ง

ตัวอย่างที่ 11.2 หินลับมีดมวล รัศมี ถูกเร่งให้มีความเร็ว ในเวลา จากเดิมอยู่นิ่งดังรูปที่ 11.5

ก. จงหาค่าโมเมนตัมเชิงมุมสุดท้าย

ข. ทอร์คสุทธิ์

วิธีทำ ก. โมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุแข็งเกร็ง

เมื่อแผ่นหินลับมีดคล้ายแผ่นจานจะได้โมเมนต์ความเฉื่อยคือ

รูปที่ 11.5 =

ความเร็วเชิงมุมสุดท้ายคือ

จากกฎข้อสองของนิวตันสำหรับการหมุน

ความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนตัมเชิงเส้นและโมเมนตัมเชิงมุม เป็นพื้นฐานสำหรับนิยามนิยามของโมเมนตัมเชิงมุม ความสัมพันธ์นี้มาจากการเปรียบเทียบนิยามของทอร์คและกฎข้อสองของนิวตันสำหรับการหมุน

เทอม เพิ่มเข้าไปในสมการค่าจะไม่เปลี่ยนแปลงเนื่องจากความเร็วครอสกับโมเมนตัมมีค่าเป็นศูนย์ จากนั้นอาศัยนิยามของความเร็วและผลของอนุพันธ์

นิยามโมเมนตัมเชิงมุม

ตัวอย่างที่ 11.3 จงหาโมเมนตัมเชิงมุมของดวงจันทร์เมื่อโคจรรอบโลกดังรูป

วิธีทำ ข้อมูลสามารถค้นหาได้จากหนังสือฟิสิกส์ทั่ว ๆ ไป เมื่อ ;

จากนิยามความเร็วและโมเมนตัม

รูปที่ 11.6 = =

จากนิยามของโมเมนตัมเชิงมุม และอาศัยความจริงที่ว่ารัศมีโคจรกับความเร็วตั้งฉากกันจะได้

อาศัยกฎมือขวา โมเมนตัมเชิงมุมจะมีทิศพุ่งออกจากระนาบของกระดาษ

ตัวอย่างที่ 11.4 จงหาค่าโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุแข็งเกร็งโดยการประยุกต์ใช้นิยามของโมเมนตัมเชิงมุม

วิธีทำ จากรูปที่ 11.7 พิจารณามวลก้อนเล็ก ๆ จากนั้นใช้นิยามของโมเมนตัมเชิงมุมและโมเมนตัมเชิงเส้น

ให้จุดหมุนคงที่ รัศมีจะตั้งฉากกับความเร็ว โมเมนตัมเชิงมุมจะมีทิศพุ่งเข้าตั้งฉากกับระนาบของกระดาษทิศเดียวกับความเร็วเชิงมุม อาศัยความสัมพันธ์ระหว่างขนาดของความเร็วกับความเร็วเชิงมุม

รูปที่ 11.7 = =

= =

เมื่อคิดทั้งก้อน

11.3 กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

จากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้น และการประยุกต์ใช้กฎข้อสองสำหรับระบบอนุภาคเมื่อไม่มีแรงภายนอกมากระทำ

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้น “ในระบบโดดเดี่ยวผลรวมของโมเมนตัมเชิงเส้นจะมีค่าคงที่”

ในทำนองเดียวกันอาศัยกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมและการประยุกต์ใช้กฎข้อสองของการหมุนเมื่อไม่มีทอร์คภายนอกมากระทำ

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม “ในระบบโดเดี่ยวผลรวมของโมเมนตัมเชิงมุมจะคงที่” ตัวอย่างที่เห็นได้ชัดคือโต๊ะหมุนและกาแตะฟุตบอล

โต๊ะหมุน เมื่อยืนบนโต๊ะหมุนถ้ามีทอร์คภายนอกมากระทำโมเมนตัมเชิงมุมจะมีการเปลี่ยนแปลง

ฟุตบอล ถ้าไม่มีทอร์คกระทำบนลูกฟุตบอล ฟุตบอลจะเคลื่อนที่ในทิศทางเดียวกับโมเมนตัมเชิงมุม

โต๊ะหมุน เมื่อยืนบนโต๊ะหมุนถ้ามีการเปลี่ยนแปลงโมเมนความเฉื่อย ความเร็วเชิงมุมก็จะเปลี่ยนแปลงด้วยเพื่อให้โมเมนตัมเชิงมุมคงที่

ตัวอย่างที่ 11.5 นักศึกษาคนหนึ่งยืนบนโต๊ะหมุนและกางแขนทั้งสองข้างออก จากนั้นหดแขนเข้าแสดงดังรูปที่ 11.8 ทำให้ความเร็วเปลี่ยนจาก เป็น จงหาอัตราส่วนโมเมนต์ความเฉื่อยที่เปลี่ยนไปต่อโมเมนต์ความเฉื่อยเดิม

วิธีทำ จากโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุแข็งเกร็ง สำหรับโมเมนตัมเชิงมุมก่อนการเปลี่ยนแปลง

โมเมนตัมเชิงมุมภายหลังการเปลี่ยนแปลง

รูปที่ 11.8

เมื่อไม่มีทอร์คภายนอกมากระทำจากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

จากคำตอบที่ได้แสดงว่าเมื่อความเร็วเชิงมุมเพิ่ม โมเมนต์ความเฉื่อยจะลดลงเพื่อให้โมเมนตัมเชิงมุมคงที่ตามกฎการอนุรักษ์พลังงาน

ตัวอย่างที่ 11.6 แป้นหมุนของช่างปั้นหม้อมีโมเมนต์ความเฉื่อย หมุนด้วยความเร็ว ถ้ามีดินเหนียวรูปทรงกระบอกมวล รัศมี เคลื่อนลงมาตามแนวดิ่งและตกลงตรงจุดศูนย์กลางของแป้นหมุนดังรูปที่ 11.9 จงหาอัตราการหมุนเมื่อก้อนดินเหนียวตกลงบนแป้นหมุน

วิธีทำ จากโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุแข็งเกร็งจะได

โมเมนตัมเชิงมุมเริ่มต้น (มีเฉพาะแป้นหมุน)

โมเมนตัมเชิงมุมสุดท้าย (ประกอบด้วยแป้น หมุนและดินน้ำมัน)

รูปที่ 11.9

แต่ดินน้ำเหนียวเป็นรูปทรงกระบอกมีโมเมนต์ความเฉื่อยเป็น

เมื่อไม่มีทอร์คภายนอกมากระทำ จะได้ว่าโมเมนตัมเชิงมุมไม่มีการเปลี่ยนแปลง อาศัยการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

11.4 ไจโรสโคป

ไจโรสโคป ประกอบด้วยล้อหมุนซึ่งติดตั้งไว้บนแกนในลักษณะซึ่งแกนจะหมุนเปลี่ยนทิศทางได้อย่างอิสระดังรูปที่ 11.10

รูปที่ 11.10

เมื่อไจโรสโคปหมุนจะเกิดทอร์คเนื่องจากน้ำหนักของไจโรสโคป ซึ่งขนาดและทิศทางของทอร์คหาได้จากสมการ

พิจารณารูปที่ 11.11 เมื่อมองจากด้านข้าง

(เพราะว่า )

จากกฎมือขวาทอร์คมีทิศพุ่งเข้าระนาบของกระดาษเนื่องจากทอร์ค ตั้งฉากกับโมเมนตัมเชิงมุม ทำให้การพิจารณาการหมุนมีความยุ่งยาก ให้คิด

รูปที่ 11.11 เปรียบเทียบความคล้ายกันระหว่างแรงที่กระทำตั้งฉากกับโมเมนตัมเชิงเส้น ซึ่งจะทำให้เกิดการหมุนเป็นวงกลม ซึ่งเราคาดว่าคงจะมีผลเช่นเดียวกันกับเมื่อทอร์คกระทำตั้งฉากกับโมเมนตัมเชิงมุม

ทอร์คลัพธ์จะเกิดจาการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุม ถ้าให้ทอร์คมีทิศตั้งฉากกับโมเมนตัมเชิงมุมเริ่มต้น ขนาดของโมเมนตัมเชิงมุมจะไม่เปลี่ยนแปลงเฉพาะทิศทางเท่านั้นดังรูปที่ 11.12 เมื่อมองจากด้านบนลงมาจะสังเกตเห็นว่ามุมเปลี่ยนไป เมื่อหาค่าโมเมนความเฉื่อยของไจโรสโคป อาศัยกฎข้อสองของการหมุน