df['date'] = pd.to_datetime(df['date'])
res = df[~(df['date'] < '2018-04-01')]
print(res)
key_value date
2 value_01 2018-04-02
3 value_01 2018-05-13
4 value_01 2018-05-16
7 value_02 2018-04-01
8 value_02 2018-05-16
9 value_02 2018-05-22
11 value_03 2018-04-14