บทที่ 5 งานและการเคลื่อนที่แบบที่สอง

บทที่ 5 งานและการเคลื่อนที่แบบที่สอง

เนื้อหาประกอบด้วย

5.1 แรงเสียดทานที่มีความซับซ้อน

5.2 การตกอย่างอิสระเมื่อคิดแรงเสียดทานของอากาศ

5.3 การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ

5.4 การเคลื่อนที่เป็นวงกลมไม่สม่ำเสมอ

เราจะมีวิธีคิดอย่างไร จะทำอย่างไร สำหรับแรงที่กระทำกับวัตถุในกรณีที่มีความซับซ้อน

5.1 แรงเสียดทานที่มีความซับซ้อน

กล่องบนพื้นราบ

พิจารณากล่องดังรูปที่ 5.1 แรงเสียดทานจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับแรงปฏิกริยาในแนวตั้งฉาก กับผิวสัมผัสของวัตถุนั้น (ไม่ใช่น้ำหนัก) เมื่อออกแรงผลักกล่องเพิ่มขึ้นแรงเสียดทานก็จะเพิ่มขึ้นตาม จึงถึงค่าสูงสุดที่วัตถุเริ่มเคลื่อนที่ (ยังไม่เคลื่อนที่) แรงเสียดทานที่เกิดขึ้นนี้เรียกว่า แรงเสียดทานสถิต เราสามารถให้คำจำกัดความของ

รูปที่ 5.1 สัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิต ได้คือ

ตัวอย่างที่ 5.1 กล่องมวล วางอยู่บนโต๊ะราบ ออกแรง ขนานกับพื้นโต๊ะเดิมกล่องอยู่นิ่งดังรูปที่ 5.1

ก. จงคำนวณหาแรงที่กระทำกับกล่อง

ข. ถ้าสัมประสิทธ์ความเสียดทานสถิตมีค่า จะต้องออกแรงอย่างน้อยที่สุดเท่าใดจึงจะให้กล่องเริ่มเคลื่อนที่

วิธีทำ ก. จากกฎข้อสองของนิวตันเมื่อกล่องอยู่นิ่ง

ข. เมื่อกล่องเริ่มเคลื่อนที่ แรงเสียดทานจะมีค่ามากที่สุดความเร่งยังคงเป็นศูนย์ (กล่องไม่เคลื่อนที่) จากกฎข้อสองของนิวตัน

แกน

จากคำจำกัดความของสัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิต

แทนค่าต่าง ๆ ที่ได้จากด้านบน

กล่องบนพื้นเอียง

การหาค่าสัมประสิทธ์ความเสียดทานสถิตของกล่องบนพื้นเอียง

ตัวอย่างที่ 5.2 วางกล่องมวล บนพื้นเอียงจากนั้นค่อย ๆ เพิ่มความสูงของพื้นเอียงจนกระทั่งกล่องเริ่มเคลื่อนที่ ดังรูปที่ 5.2 สมมติให้มุมขณะนั่นคือ องศา จงหาสัมประสิทธ์ความเสียดทานสถิต

รูปที่ 5.2

วิธีทำ พิจารณา free body diagram และจากกฎข้อสองของนิวตันพิจารณาในแต่ละแกน

แกน

จากคำกำจัดความของสัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิต

= =

แทนค่ามุม จะได้ : =

เนื่องจากสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ มีค่าน้อยกว่าสัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิต

คำจำกัดความของสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ

ตัวอย่างที่ 5.3 กำหนดให้สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์มีค่าเท่ากับ 90% ของค่าสัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิต จากตัวอย่างที่ 5.2 จงคำนวณหาความเร่งของกล่องบนเมื่อเคลื่อนที่ลงจากพื้นเอียง เดิมกล่องอยู่นิ่ง

รูปที่ 5.3

วิธีทำ จาก free body diagram

แกน

จากคำกำจัดความของสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์

จากสมการ : =

แทนค่า ลงในสมการจะได้

แต่ จากโจทย์เมื่อ จากตัวอย่างที่ 5.2 ดังนั้นจะได้ แทนค่าต่างๆ ลงในสมการข้างบน

ตัวอย่างที่ 5.4 กล่องมวล เท่ากันสองกล่อง ก้อนแรกวางบนพื้นเอียงซึ่งทำมุม กับแนวราบด้านข้างของกล่องผูกติดกับปลายเชือกเบาโดยปลายอีกด้านหนึ่งผูกติดกับด้านข้างของกล่องอีกใบหนึ่งซึ่งคล้องผ่านรอกเบาดังรูปที่ 5.4 ถ้าสัมประสิทธิ์ความเสียดทานระหว่างพื้นเอียงกับกล่องมีค่าเป็น จงหาความเร่งของระบบและแรงตึงเชือก

รูปที่ 5.4

วิธีทำ พิจารณาตามระบบแกนมุมฉากดังรูป เพื่อให้สอดคล้องกันให้กล่องเคลื่อนที่ขึ้นตามพื้นเอียงมีค่าเป็นบวก กล่องที่แขวนเมื่อเคลื่อนที่ลงต้องมีค่าเป็นบวกด้วย (พิจารณาตามทิศทางการเคลื่อนที่)

พิจารณากล่องที่แขวน

จากกฎข้อสองของนิวตัน

จะได้

= ……………….. (1)

จากสมการที่ (1) มีค่าที่ไม่ทราบค่าอยู่สองค่า

พิจารณาแรงที่กระทำต่อกล่องที่วางอยู่บนพื้นเอียงดังรูปที่ 5.5 เมื่อนำมาเขียน free body diagram และจากกฎข้อสองของนิวตัน

รูปที่ 5.5

แกน

= ……………….. (2)

แกน

= ……………….. (3)

จะได้สมการสามสมการ แต่มีค่าที่ไม่ทราบค่าสี่ค่า แต่ จะได้ ดังนั้น สมการที่ (3) เขียนใหม่ได้เป็น

= ……………….. (4)

จะได้สมการสี่สมการและค่าที่ไม่ค่าสี่ค่า แทนสมการที่ (4) ลงในสมการที่ (2) จะได้ =

เทียบสมการนี้กับสมการที่ (1) จะได้ค่าทางด้านขวามือเท่ากันดังนั้นสมการด้านซ้ายมือย่อมเท่ากัน

แทนค่าต่างลงในสมการ

จากสมการที่ (1)

สรุป

1. ( แรงเสียดทานสถิตย์จะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับผลคูณระหว่างสัมประสิทธิความเสียดทานสถิตกับแรงปฎิกริยาในแนวตั้งฉาก

2. =

3. =

5.2 การตกอย่างอิสระภายใต้แรงต้านอากาศ

จากบทที่ 1 เป็นการตกอย่างอิสระเมื่อไม่คิดแรงต้านอากาศ เนื่องจากเมื่อคิดแรงต้านต้านอากาศจะมีความยุ่งยากในการคำนวณ แต่ในบทนี้จะศึกษาเกี่ยวกับแรงต้านอากาศที่กระทำต่อวัตถุเมื่อวัตถุตกอย่างอิสระดังรูปที่ 5.6 แรงต้านอากาศ จะมีทิศตรงข้ามกับการเคลื่อนที่

จากรูปที่ 5.6 การคำนวณสามารทำได้ดังนี้

ก. หาแรงต่าง ๆ ที่กระทำต่อวัตถุ

ข. ใช้กฎข้อสองของนิวตันเพื่อหาความเร่ง

ค. ใช้คำจำกัดความของความเร่ง ตำแหน่งเริ่มต้น และความเร็วเมื่อหาการเคลื่อนที่

แรงต้านอากาศขณะวัตถุเคลื่อนที่จะเป็ปฎิภาคโดยตรงกับอัตราเร็วยกกำลังสองคือ เมื่อ คือค่าคงที่ขึ้นอยู่กับขนาดและรูปร่างของวัตถุรวมถึงความหนาแน่นของอากาศ พิจารณาการตกอิสระภายใต้แรงต้านอากาศโดยใช้กฎข้อสองของนิวตัน

รูปที่ 5.6

เมื่อวัตถุมีความเร็วมากขึ้นแรงต้านอากาศก็มีค่ามากขึ้นด้วย จนในที่สุดแรงทั้งสองมีค่าเท่ากัน วัตถุจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ เรียกว่า " ความเร็วปลาย " (terminal velocity)

เมื่อ จะได้

แทนค่าสมการที่ได้ลงในสมการข้างต้น และจากคำจำกัดความของความเร่งจะได้

เนื่องจาก

จัดสมการใหม่เพื่อให้ง่ายต่อการอินทิเกรต

การอิทิเกรตสมการทางขวามือสามารถทำได้โดยตรง ส่วนสมการทางซ้ายมือสามารถหาได้โดยใช้ partial fracitions จะได้

เมื่อเขียนสมการความเร็วเป็นฟังก์ชั่นของเวลา

สังเกต ที่เวลา ;

จะได้

เหตุที่ให้หัวข้อนี้ไว้ตอนสุดท้ายเนื่องจากเมื่อแรงที่กระทำต่อวัตถุคงที่ หมายความว่าความเร่งก็ย่อมคงที่ ซึ่งก็คือคำตอบของสมการทางจลศาสตร์

5.3 การเคลื่อนที่แบบวงกลมแบบสม่ำเสมอ

พิจารณามวลติดปลายเชือกเมื่อหมุนเป็นวงกลมเหนือศรีษะดังรูปที่ 5.7

การเคลื่อนที่แบบนี้สามารอธิบายได้โดยอาศัยกฎของนิวตัน จากกฎข้อที่หนึ่ง มวลยังคงหมุนไม่เปลี่ยนแปลงจนกว่าจะมีแรงมากระทำ ดังนั้นมวลก็ยังคงสภาพหมุนต่อไป จากกฎข้อที่สอง แรงและความเร่งจำเป็นต้องรักษาตำแหน่งในการเคลื่อนที่ เมื่อมวลเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอ (ความเร็วคงที่) ในที่นี้ความเร่งมีทิศเข้าสู่ศูนย์กลางเรียกว่า

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง

รูปที่ 5.7

ดังนั้นต้องมีแรงกระทำสู่ศูนย์กลางเพื่อทำให้มวลเคลื่อนที่เป็นวงกลมในกรณีนี้แรงสู่ศูนย์กลางคือแรงตึงเชือก กรณีของดวงจันทร์คือแรงความโน้มถ่วง

ตัวอย่างที่ 5.5 มวล ติดที่ปลายเชือกยาว หมุนเป็นวงกลมเหนือศรีษะด้วยอัตราเร็ว (รอบต่อนาที) จงหาแรงตึงเชือก

วิธีทำ แรงที่กระทำต่อมวลคือแรงตึงเชือกกระทำตามแนวแกน ดังรูปที่ 5.8 จากกฎข้อสองของนิวตัน

จากคำกำจัดความของความเร็ว

รูปที่ 5.8

จะได้ =

แต่

เมื่อรัศมีคือความยาวเชือกจะได้

จากเงื่อนไขข้างต้นจะสังเกตเห็นว่าเราไม่ได้นำค่าแรงความโน้มถ่วงเข้ามาเกี่ยวข้องในการคำนวณเลย ถ้าพิจารณาเงื่อนไขแรงดังรูปที่ 5.9 ดังนั้นเมื่อคิดแรงโน้มถ่วงจะสังเกตเห็นว่าแรง อยู่ในระนาบ หรือมี 2 ทิศทาง ดังนั้นเราสามารถคำนวณได้อีกวิธีหนึ่งโดยอาศัยกฎข้อสองของนิวตันโดยพิจารณาแต่ละแกนดังนี้

แกน

= …….. (1)

แกน

รูปที่ 5.9 =

= …….. (2)

แทนค่าความเร็ว จากตอนต้นลงในสมการที่ (1)

พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉากดังรูปที่ 5.10 จะได้ว่า

รูปที่ 5.10 =

นั่นคือแรงตึงเชือกมีค่าเท่ากับกรณีแรกที่ไม่คิดแรงโน้มถ่วง เนื่องจากความยาวเชือก กับรัศมี มีค่าต่างกันน้อยมากทำให้มวลเคลื่อนที่ต่ำกว่าแนวระดับเล็กน้อย ในความเป็นจริงความเร็วขึ้นอยู่กับมุมที่กระทำกับแนวราบ

จาก = =

เนื่องจากมวลหมุนเร็วมากมุมจึงมีค่าน้อย ๆ ดังนั้นมุมที่กระทำกับแนวราบสามารถหาได้จากสมกการที่ (2) รูปที่ 5.9

ตัวอย่างที่ 5.6 รถวิ่งด้วยความเร็ว บนทางโค้งรัศมี จงหาสัมประสิทธิ์ความเสียดทานที่น้อยที่สุดที่ทำให้รถคันนี้วิ่งบนทางโค้งได้โดยไม่ลื่นไถล

วิธีทำ พิจารณาแรงที่กระทำต่อรถดังรูปที่ 5.11 ซึ่งประกอบด้วยน้ำหนัก แรงปฏิกริยาที่พื้นกระทำต่อล้อรถ และแรงเสียดทานสถิตย์ จากกฎข้อสองของนิวตันแยกพิจารณาในแต่ละแกน

รูปที่ 5.11

แกน

= …….. (1)

แกน

= …….. (2)

แต่ =

เนื่องจากรถวิ่งโดยไม่ลื่นไถลแสดงว่า

แทนค่า และ จะได้

ในกรณีที่ถนนเปียกสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจะมีค่าน้อยมาก รถจะวิ่งบนทางโค้งด้วยความเร็วสูงได้ โดยพิจารณาจากสมการข้างบนจะเห็นว่าถ้ารัศมีความโค้งยิ่งมากสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจะน้อยก็จะทำให้แรงเสียดทานมีค่าน้อยด้วย

5.4 การเคลื่อนที่เป็นวงกลมไม่สม่ำเสมอ

รูปที่ 5.12

พิจารณามวลติดปลายเชือกเมื่อหมุนช้า ๆ โดยให้ระนาบการหมุนอยู่ในแนวดิ่งดังรูปที่ 5.12 จะสังเกตุเห็นได้ว่าความเร็วจะไม่คงที่ การเคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยความเร็วไม่คงที่นี้เรียกว่า การเคลื่อนที่เป็นวงกลมไม่สม่ำเสมอ โดยที่ความเร็วจะมีการเปลี่ยนแปลงทั้งขนาดและทิศทางจะทำให้เกิดความเร่งทั้งสองแนว คือความเร่งสู่ศูนย์กลาง และความเร่งแนวเส้นสัมผัส ดังนั้นความเร่งลัพธ์ที่กิดขึ้นคำนวณได้ดังนี้

จากรูปที่ 5.12 สามารถอธิบายได้ว่าแรงตึงเชือก คือแรงสู่ศูนย์กลาง ส่วนน้ำหนัก คือองค์ประกอบของแรงในแนวเส้นสัมผัส (ดูตัวอย่างที่ 5.7 ประกอบ)

ตัวอย่างที่ 5.7 แกว่งมวล โดยให้ระนาบของการหมุนอยู่ในแนวดิ่งในทิศตามเข็มนาฬิกา ให้เชือกยาว และมวล m ทำมุม กับแนวดิ่งดังรูปที่ 5.13 ทำให้เกิดแรงตึงเชือก จงหา