บทที่ 7 พลังงานศักย์ และการอนุรักษ์พลังงาน

บทที่ 7 พลังงานศักย์ และการอนุรักษ์พลังงาน

เมื่อลูกบอลกลิ้งขึ้นพื้นเอียง สามารถอธิบายการหยุดของลูกบอลได้โดยอาศัยทฤษฎีงาน - พลังงาน แต่พลังงานเกิดได้อย่างได้และอยู่ที่ไหน ในทำนองเดียวกันเมื่ออกแรงผลักกล่องบนพื้นราบทฤษฎีงาน - พลังงาน สามารถใช้อธิบายการหยุดของกล่องได้ แต่พลังงานเกิดได้อย่างได้และอยู่ที่ไหน คำถามเหล่านี้มีคำตอบเมื่อนักศึกษาได้ศึกษาในบทนี้

กฎการอนุรักษ์พลังงาน

พลังงานสามารเปลี่ยนรูปจากรูปแบบหนึ่งไปยังอีกรูปแบบหนึ่งได้ แต่ผลรวมของพลังงานยังคงที่ กฎการอนุรักษ์พลังงานมีความสำคัญมากเนื่องจากมีประโยชน์ที่สามารถใช้อธิบายหรือตอบคำถามต่าง ๆ ได้ ไม่เฉพาะในทางฟิสิกส์เท่านั้น ในสาขาต่าง ๆ ทางวิทยาศาสตร์ก็สามารถนำไปใช้อธิบายได้

เนื้อหาประกอบด้วย

7.1 แรงอนุรักษ์และแรงไม่อนุรักษ์

7.2 งานและพลังงานศักย์

7.3 ชนิดของพลังงานศักย์

7.4 กฎการอนุรักษ์พลังงาน

7.1 แรงอนุรักษ์และแรงไม่อนุรักษ์

ทำไมแรงโน้มถ่วงกลายเป็นพลังงานได้ ส่วนแรงเสียดทานทำไม่ได้ เราสามารถใช้วิชาฟิสิกส์ตอบคำถามเหล่านี้ได้ กล่าวคืองานที่กระทำโดยแรงโน้มถ่วงเกิดขึ้นระหว่างจุด 2 จุด ซึ่งเป็นอิสระต่อกัน (ไปตามเส้นทางไหนก็ได้) แต่งานเนื่องจากแรงเสียดทานไม่เป็นเช่นนั้น

ตัวอย่างที่ 7.1 บอลมวล กลิ้งจากฐานพื้นเอียงจนถึงขอบบนสุดของพื้นเอียงซึ่งสูงจากพื้น ดังรูปที่ 7.1 จงหางานที่กระทำโดยแรงโน้มถ่วงตามเส้นทางต่อไปนี้

ก. ตามพื้นเอียง (path 1)

ข. ตามแนวราบ (path 2)

รูปที่ 7.1

วิธีทำ ก. ตามพื้นเอียง (path 1)

รูปที่ 7.2

จากรูปที่ 7.2 มุมระหว่าง กับ มีค่าเท่ากับ จะได้

แต่

แต่ , และ เป็นค่าคงที่

แต่ จะได้

ข. งานตามแนวราบ (part 2)

เนื่องจากวัตถุเคลื่อนที่ตามพื้นเอียง ดังนั้นเมื่อแยกองค์ประกอบจะได้ (กลิ้งขึ้นพื้นเอียง)

แต่ ;

จากข้อ ก. และ ข. จะสังเกตุได้ว่างานเนื่องจากแรงโน้มถ่วงไม่ขึ้นกับแนวทางการเคลื่อนที่ ขึ้นอยู่กับจุดเริ่มต้นและจุดสุดท้ายเท่านั้น

ตัวอย่างที่ 7.2 กล่องมวล เคลื่อนที่ตามพื้นเอียงจากจุด ถึงจุด จงหางานเนื่องจากแรงเสียดทานตามเส้นทางที่ 1 (path 1) และเส้นทางที่ 2 (path2) ดังรูปที่ 7.3 กำหนดให้สัมประสิทธ์แรงเสียดทานเท่ากับ

รูปที่ 7.3

วิธีทำ จากกฎข้อสองของนิวตัน และแรงปฎิกริยาในแนวตั้งฉาก จะมีค่าเท่ากับน้ำหนักของวัตถุ แต่จากสมการ

จากคำจำกัดความของงาน แรงเสียดทานจะมีทิศตรงข้ามกับการเคลื่อนที่จะได้

คิดตามเส้นทางที่ 1 (part 1)

พิจารณาทิศตามพื้นเอียง จะได้ว่าแรง มีทิศตรงข้ามกับการเคลื่อนที่

= =

คิดตามเส้นทางที่ 2 (part 2)

แต่แรง จะมีทิศตรงข้ามกับการเคลื่อนที่ ดังนั้น และ

งานที่เกิดจาดแรงเสียดทานจะขึ้นกับแนวทางการเคลื่อนที่

งานที่ไม่ขึ้นกับแนวทางการเคลื่อนที่ จะถูกเก็บไว้ในรูปของพลังงาน และจะเกิดการสะสมพลังงาน เป็นแรงอนุรักษ์

งานที่ขึ้นกับแนวทางการเคลื่อนที่ จะสูญเสียพลังงาน เป็นแรงไม่อนุรักษ์

7.2 งานและพลังงานศักย์

พิจารณาลูกบอลเคลื่อนที่ขึ้นตามพื้นเอียงดังรูปที่ 7.4

ถ้าใช้กฎการอนุรักษ์พลังงาน จะได้ว่าพลังงานจะเก็บสะสมอยู่ที่ปลายบนสุดของพื้นเอียง ซึ่งจะมีค่าเท่ากับพลังงานจลน์ที่อยู่ปลายล่างสุดของพื้นเอียง

พลังงานที่เก็บสะสมอยู่ที่ปลายบนสุดของพื้นเอียงเรียกว่า " พลังงานศักย์ "

จากรูปที่ 7.4 พลังงานทั้งหมดของระบบเป็นพลังงานจลน์ เมื่อลูกบอลเคลื่อนที่ขึ้นตามพื้นเอียงพลังงานศักย์ ก็

รูปที่ 7.4 จะเพิ่มขึ้น พลังงานจลน์ก็จะน้อยลง ตามกฎ

การอนุรักษ์พลังงาน กล่าวคือพลังงานของทั้งระบบจะคงที่ไม่เปลี่ยนแปลง

พิจารณาลูกบอลเคลื่อนที่ขึ้นตามพื้นอียงดังรูปที่ 7.5 ก. และ 7.5 ข.

รูปที่ 7.5 ก. รูปที่ 7.5 ข.

จากรูปที่ 7.5 ก. และ 7.5 ข. จะได้ว่า

รูปที่ 7.5 ก.

รูปที่ 7.5 ข.

นั่นคือพลังงานจลน์สามารถเปลี่ยนเป็นพลังงานศักย์ได้ ตามทฤษฎีของงาน - พลังงาน

โดยทั่ว ๆ ไปงานเกิดได้ทั้งจากแรงอนุรักษ์และแรงไม่อนุรักษ์ แต่แรงอนุรักษ์เท่านั้นที่เกี่ยวข้องกับพลังงานศักย์ ในกรณีเราสมมุติให้ไม่มีแรงภายนอก(แรงไม่อนุรักษ์) มากระทำจะได้

จากกฎการอนุรักษ์พลังงาน

พลังงานศักย์เท่านั้นที่มีความสัมพันธ์กับแรงอนุรักษ์ ดังนั้นนิยามของพลังงานศักย์คือ

ตัวอย่างที่ 7.3 จงหา ก. พลังงานศักย์ของลูกบอลที่จุดบนสุดของพื้นเอียง

ข. ความเร็วที่ปลายล่างของพื้นเอียง

วิธีทำ ก. จากตัวอย่างที่ 7.1 และจากนิยามของพลังงานศักย์

การเปลี่ยนแปลงที่สังเกตุได้ชัดเจนคือพลังงานศักย์ ซึ่งขึ้นอยู่กับตำแหน่งอ้างอิงที่เรากำหนด โดยกำหนดให้จุดเริ่มต้นหรือจุดสุดท้ายมีพลังงานศักย์เป็นศูนย์ก็ได้ ในที่นี้กำหนดให้จุดเริ่มต้นคือที่ปลายพื้นเอียงมีพลังงานศักย์เป็นศูนย์ ดังนั้น

ข. ความเร็วที่ปลายพื้นเอียงสามารถหาได้โดยใช้กฎการอนุรักษ์พลังงาน

จากสมการ

แทนค่าในสมการ

การแก้ปัญหาโดยใช้กฎการอนุรักษ์พลัลงานจะทำได้ง่ายกว่าการใช้แรง และกฎข้อสองของนิวตันในการคำนวณหาความเร่งได้ง่ายสะดวกกว่าใช้สมการจลศาสตร์

ใจความสำคัญในบทนี้

ทฤษฎีงาน - พลังงาน

นิยามของพลังงานศักย์

กฎการอนุรักษ์พลังงาน (อนุรักษ์แรงเท่านั้น)

7.3 ชนิดของพลังงานศักย์

พลังงานศักย์เป็นแรงอนุรักษ์ พิจารณาความแรงโน้มถ่วงและสปริง

พลังงานศักย์โน้มถ่วง

พิจารณาลูกบอลดังรูปที่ 7.6 จากนิยามของงานและพลังงานจะได้ว่า

พิจารณารูปที่ 7.6 ในระบบแกนมุมฉากระยะทางในแกน จะมีค่าเพิ่มในทิศขึ้น แต่ในกรณีนี้น้ำหนักและการกระจัดจะมีทิศตรงกันข้ามเมื่อ จะได้

รูปที่ 7.6

จะได้ความสัมพันธ์ของพลังงานศักย์โน้ม่วงดังนี้

พลังงานศักย์โน้มถ่วง = เมื่อ

ตัวอย่างที่ 7.4 ฟักทองตกจากที่สูง 62 m สู่พื้นดินดังรูปที่ 7.7 จงหาความเร็วขณะกระทบพื้น

รูปที่ 7.7

วิธีทำ โจทย์ข้อนี้สามารถคำนวณได้โดยใช้การเปลี่ยนพลังงานศักย์เป็นพลังงานจลน์ จากนั้นใช้กฎการอนุรักษ์พลังงาน โดยเลือกพื้นเป็นจุดอ้างอิงที่จุดนี้ ดังนั้นพลังงานศักย์จึงเป็รนศูนย์ด้วย

= =

จากกฎการอนุรักษ์พลังงาน

ซึ่งเหมือนกับการเคลื่อนที่แบบดิ่งอิสระเปรียบเทียบกับตัวอย่างที่ 6.4 แทนค่าต่าง ๆ ลงในสมการ

พลังงานศักย์สปริง

รูปที่ 7.8

จากนิยามของพลังงานศักย์พิจารณามวลติดปลายสปริงดังรูปที่ 7.8 เดิมมวล วางอยู่ที่ตำแหน่ง เมื่อเคลื่อนมวลไปทางขวามือมาอยู่ที่ตำแหน่ง จากนั้นใช้คำจำกัดของงาน

= =

แรงที่สปริงกระทำต่อมวลจะมีทิศตรงข้ามกับการกระจัดจะได้

จะได้ความสัมพันธ์ของพลังงานศักย์สปริงคือ

พลังงานศักย์สปริง เมื่อ คือระยะยืดหรืดหดจากตำแหน่งสมดุล

ตัวอย่างที่ 7.5 วางมวล บนสปริงซึ่งอยู่ในตำแหน่งสมดุลทำให้สปริงหดเป็นระยะ ดังรูปที่ 7.9 จงหาค่าคงที่ของสปริง

รูปที่ 7.9

วิธีทำ จากระบบพิกัดฉากเลือกตำแหน่งที่สปริงหดตัวเป็นจุดอ้างอิง ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์และพลังงานศักย์สามารถหาได้ดังนี้

= =

จากกฎการอนุรักษ์พลังงาน

แทนค่าในสมการ

การแก้ปัญหาโดยใช้พลังงานจะง่ายกว่าการคำนวณโดยารใช้แรง

7.4 กฎการอนุรักษ์พลังงาน

กฎการอนุรักษ์พลังงาน : พลังงานสามารถเปลี่ยนจากรูปหนึ่งไปยังอีกรูปหนึ่งได้ โดยที่ผลรวมของพลังงานทั้งหมดจะคงที่

จากทฤษฎีของงานและพลังงานหัวข้อที่ 6.2

จากนิยามของพลังงานศักย์

งานสุทธิ

แทนค่างานสุทธ์ลงในทฤษฎีงานและพลังงาน และใช้นิยามของพลังงานศักย์จะได้ว่า

เมื่อแสดงเป็นสมการทางคณิตศาสตร์กฎการอนุรักษ์พลังงาน ประกอบด้วยแรงไม่อนุรักษ์

กฎการอนุรักษ์พลังงาน =

ตัวอย่างที่ 7.6 ฟักทองมวล จากตัวอย่างที่ 7.4 ในความเป็นจริงขณะกระทบพื้นมีความเร็ว เนื่องจากมีแรงต้านของอากาศ จงหาแรงต้านเฉลี่ยของอากาศ

วิธีทำ เนื่องจากแรงเสียดทานของอากาศมีผลน้อยมากต่อความเร็วของส้มดังนั้นงานที่เกิดจากแรงภายนอกสามารคำนวณได้จากนิยามของงาน

เครื่องหมายลบแสดงว่าแรงต้านอากาศมีทิศตรงข้ามกับการเคลื่อนที่ ฟิจารณารูปที่ 7.10 จากกฎการอนุรักษ์พลังงาน

รูปที่ 7.10

แทนค่าในสมการ

พลังงานส่วนหนึ่งหายไปไหน

ตัวอย่างที่ 7.7 กล่องมวล เคลื่อนที่ลงตามทางโค้งลื่นสูง ดังรูปที่ 7.11 ที่ปลายทางโค้งต่อกับพื้นราบมีความเสียดทานยาว ต่อจากนั้นเป็พื้นราบลื่นและเข้าชนสปริงทำให้สปริงหดเป็นระยะทาง จงหาสัมปรสิทธ์ความเสียดทานระหว่างกล่องกับพื้นราบที่มีความเสียดทาน