บทที่ 15 การเคลื่อนที่แบบสั่น

บทที่ 15 การเคลื่อนที่แบบสั่น

เนื้อหาประกอบด้วย

15.1 แรงบนสปริง – กฎของฮุค (Hooke’s Rule)

15.2 การเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิก

15.3 ความสัมพันธ์กับการเคลื่อนที่แบบวงกลม

15.4 แรงและพลังงานในการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิกอย่างง่าย

15.5 รูปแบบต่าง ๆ ของการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิก

ในบทนี้จะศึกษาเกี่ยวกับการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิก (Simple Harmonic Moion, SHM) ตัวอย่าง เช่น การสั่นของมวลที่ติดปลายสปริง ซึ่งสมการการเคลื่อนที่เราสามารถหาได้โดยการประยุกต์ใช้กฎต่าง ๆ ที่ได้ศึกษามาก่อนหน้านี้ เช่นการประยุกต์ใช้กฎข้อสองของนิวตันเพื่อหาสมการการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิก จะได้สมการที่ ตำแหน่งเป็นฟังชั่นของเวลา ; ความเร็วเป็น ฟังชั่นของเวลา ; ความเร่งเป็นฟังชั่นของเวลา หรือ ความเร็วเป็นฟังก์ชั่นของตำแหน่ง และ ความเร่งเป็นฟังชั่นของตำแหน่ง

15.1 แรงบนสปริง – กฎของฮุค

เมื่อนำมวลมาแขวนที่ปลายสปริงและอยู่ในสภาพสมดุล จากกฎข้อสองของนิวตัน

เมื่อเพิ่มน้ำหนักจนทำให้สปริงยืดออก แรงที่กระทำต่อสปริง (แรงเนื่องจากวัตถุมวล ; ) จะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับระยะยืดของสปริง และมีทิศตรงข้ามกับแรงสปริง ดังรูปที่ 15.1

เมื่อ เรียกว่าค่าคงที่ของสปริง (spring constant)

กฎของฮุค : =

รูปที่ 15.1

ตัวอย่างที่ 15.1 จงหาค่าคงที่ของสปริง เมื่อนำมวล มาแขวนที่ปลายสปริงแล้วทำให้สปริงยืดออกจากตำแหน่งสมดุลเดิมเป็นระยะ ดังรูปที่ 15.2

วิธีทำ จากกฎข้อสองของนิวตัน

จากกฎของฮุคและแทนค่าแรงเนื่องจากน้ำหนักของมวล

เมื่อ คือระยะยืดของสปริง จากนั้นแทนค่าต่าง ๆ ลงในสมการ

รูปที่ 15.2 =

15.2 การเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิก

การหาสมการการเคลื่อนที่ของวัตถุแบบซิมเปิลฮาร์โมนิก สามารถประยุกต์ใช้กฎข้อสองของนิวตันโดยมีความเร่งเข้าเกี่ยวข้อง (เนื่องจากวัตถุมีการเคลื่อนที่) ซึ่งความเร็วและความเร่งสามารถหาได้จากสมการ ตำแหน่งเป็นฟังก์ชั่นของเวลา

(ก) (ข) (ค)

รูปที่ 15.3

พิจารณาการเคลื่อนที่แบบแบบซิมเปิลฮาร์โมนิก เมื่อระบบไม่สมดุลเดิมสปริงอยู่ในตำแหน่งสมดุลดังรูปที่ 15.3 ก. จากนั้นนำมวล มาแขวนที่ปลายสปริงทำให้สปริงยืดออกเป็นระยะ ดังรูปที่ 15.3 ข. ระบบจะอยู่ในตำแหน่งสมดุลอีกครั้ง จากนั้นยกมวล ขึ้นเป็นระยะ เหนือตำแหน่งสมดุลดังรูปที่ 15.3 ค. แล้วปล่อยให้สปริงสั่น

จากกฎข้อสองของนิวตัน เมื่อมวล เคลื่อนที่ (ระบบไม่สมดุล)

เมื่อสปริงยืดออกเป็นระยะ อาศัยกฎของฮุค

จากกฎข้อสองของนิวตันเมื่อมวล อยู่ในตำแหน่งสมดุลมวล อยู่นิ่ง

แทนค่า ลงในสมการด้านบน (เมื่อระบบไม่สมดุล) จะได้

นั่นคือความเร่งจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับการกระจัดแต่มีทิศทางตรงกันข้าม เพื่อความสะดวกกำหนดให้

เขียนสมการใหม่ได้เป็น

จากความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วและความเร่ง โดยอาศัยกฎลูกโซ่จะได้

= =

จะได้ =

อินทิเกรตทั้งสองข้าง โดยมี limit ของตำแหน่งจาก ไปยังตำแหน่ง ใด ๆ

สาเหตุที่ใช้ตำแหน่งตอนแรกเป็น เนื่องจากที่ตำแหน่งนี้ความเร็วจะเป็นศูนย์ ให้ปล่อยมวลที่ระยะ เมื่อ เรียกว่า “แอมปลิจูด” จะได้

นั่นคือความเร็วจะเป็นฟังก์ชั่นของตำแหน่ง

การหาสมการเมื่อ ตำแหน่งเป็นฟังก์ชั่นของเวลาเวลา โดยอาศัยเงื่อนไขของความเร็ว

ในกรณีนี้ แต่โดยทั่วไปจะมีค่าเท่าใดก็ได้แต่ต้องน้อยกว่าหรือเท่ากับ

เมื่อเทอมที่สองทางซ้ายมือเป็นค่าคงที่ ขึ้นอยู่กับตำแหน่งเริ่มต้นของมวล เราเรียกว่ามุมเฟสเมื่อ

จะได้

จะได้ตำแหน่งเป็นฟังชั่นของเวลา

การหาสมการ ความเร็วเป็นฟังชั่นของเวลา โดยอาศัยเงื่อนไขของความเร็ว

จะได้ความเร็วเป็นฟังชั่นของเวลา

จากความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วและความเร่ง โดยหาอนุพันธ์ของความเร็วเทียบกับเวลา

จะได้ความเร่งเป็นฟังชั่นของเวลา

สรุป

เริ่มต้นใช้กฎข้อของของนิวตัน โดยพิจารณาแรงที่เกิดจากวัตถุมวล กระทำที่ปลายสปริง แล้วทำให้วัตถุมีความเร่ง จากนั้นอาศัยความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วกับความเร่ง จะได้สมการการเคลื่อนที่ ของตำแหน่ง ความเร็ว และความเร่ง ดังนี้

เมื่อ คือแอมปลิจูด ; คือมุมเฟส ; คือควาเร็วเชิงมุม

ความถี่เชิงมุมของวัตถุมวล ที่ติดปลายสปริงคือ

ค่า sines และค่า cosines บอกให้เราทราบว่าวัตถุเคลื่อนที่แบบสั่น หรือแบบฮาร์โมนิก ที่ใช้คำว่าอย่างง่ายเนื่องจากเคลื่อนที่พื้นฐานแบบฮาร์โมนิกมีหลายรูปแบบ (ซึ่งมีความยุ่งยากในการหา) ความเร่งจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับการกระจัดแต่ทิศตรงข้าม

ตัวอย่างที่ 15.2 จากตัวอย่างที่ 15.1 เมื่อยกมวล ขึ้น แล้วปล่อยจากจุดหยุดนิ่งจงคำนวณหา ก. ความถี่เชิงมุม ข. แอมปลิจูด ง. มุมเฟส

วิธีทำ ก. ความถี่เชิงมุมของสปริงคือ

ข. แอมปลิจูดคือการกระจัดสูงสุด

ค. เราทราบว่า เมื่อ จาก

ตัวอย่างที่ 15.3 จากตัวอย่างที่ 15.2 จงหาเวลาและความเร็วเมื่อมวล เคลื่อนที่มาถึงตำแหน่งสมดุล

วิธีทำ ต้องการหาเวลาเมื่อกำหนดตำแหน่งมาให้ ที่ตำแหน่งสมดุล จากสมการตำแหน่งเป็นฟังก์ชั่นของเวลา

จากตัวอย่างที่ 15.2 เมื่อ จะได้

จากนั้นในสมการความเร็วที่เป็นฟังก์ชั่นของเวลา

ความเร็วเป็นลบ แสดงว่ามวล เคลื่อนที่ลง

ตัวอย่างที่ 15.4 จงหาสมการของ

ก. ความเร็วสูงสุด

ข. ความเร่งสูงสุด

ง. คาบของการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิก ในเทอมของความถี่เชิงมุมและอัมปลิจูด

จากสมการที่ได้ศึกษามา

วิธีทำ ก. จากสมการความเร็วเป็นฟังก์ชั่นของตำแหน่ง

วัตถุจะมีความเร็วสูงสุดเมื่ออยู่ที่จุดสมดุล

ข. จากสมการความเร่งเป็นฟังก์ชั่นของตำแหน่ง ความเร่งจะมีค่ามากสุด เมื่อ มีค่ามากสุด

นอกจากนี้ผลลัพธ์ที่ได้ยังสามารถคำนวณได้จากสมการความเร็วเป็นฟังก์ชั่นของเวลา และความเร่งเป็นฟังก์ชั่นของเวลา

ค. คาบการแกว่ง สามารถหาได้จากสมการตำแหน่งเป็นฟังก์ชั่นของเวลา เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ครบหนึ่งรอบแล้ววัตถุจะกลับมายังตำแหน่งเดิมจาก

นั่นคือ

เหมือนการเคลื่อนที่แบบวงกลม

15.3 ความสัมพันธ์กับการเคลื่อนที่แบบวงกลม

เมื่อวัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลมดังรูปที่ 15.4 ความเร็วเชิงมุมคือ

ความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วเชิงเส้นและความเร็วเชิงมุมคือ

ความสัมพันธ์ระหว่างความเร่งสู่ศูนย์กลางและความเร็วเชิงมุมคือ

= =

รูปที่ 15.4 =

ตำแหน่ง ความเร็ว และความเร่งของวัตถุเมื่อเขียนอยู่ในรูปฟังก์ชั่นของเวลา

จะสังเกตได้ว่าสมการที่ได้คล้ายกับสมการการเคลื่อนที่ของมวลติดปลายสปริง เมื่อ หรือ เป็นองค์ประกอบของการเคลื่อนที่แบบวงกลม ซึ่งก็คือการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิก

15.4 แรงและพลังงานในการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิกอย่างง่าย

เมื่อมวล ถูกกระทำด้วยแรง ทำให้เคลื่อนที่ด้วยความเร่ง จากกฎการเคลื่อนที่ข้อสองของนิวตัน

เนื่องจากวัตถุเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิก

= =

พิจารณาพลังงานศักย์ของสปริง จาก

อินทิเกรตโดยให้พลังงานศักย์เป็นศูนย์ ที่จุดสมดุล

แต่ความถี่เชิงมุมของวัตถุที่ติดปลายสปริงคือ

นั่นคือพลังงานศักย์จะเป็นศูนย์ที่ และมีค่ามากที่สุดที่

พลังงานจลน์ของวัตถุจาก

เนื่องจากวัตถุเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิก

จะเห็นว่าพลังงานจลน์จะมีค่ามากที่สุดที่จุดสมดุล และเป็นศูนย์ที่

ดังนั่นจะได้พลังงานรวมทั้งหมดของการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิกอย่างง่ายคือ

= +

= =

ตัวอย่างที่ 15.5 สปิงมีค่าคงตัวของสปริง วางอยู่ในแนวระดับบนโต๊ะซึ่งไม่มีแรงเสียดทาน ที่ปลายสปริงติดวัตถุมวล เมื่อดึงวัตถุให้ยืดออก จากตำแหน่งสมดุลแล้วปล่อยวัตถุจะเคลื่อนที่แแลซิมเปิลฮาร์โมนิก จงหา

ก. แรงที่สปริงกระทำต่อวัตถุก่อนปล่อย

ข. คาบภายหลังจากที่ปล่อยวัตถุ

ค. แอมปลิจูดของการเคลื่อนที่

ง. ความเร็วสูงสุดของวัตถุ

จ. ความเร่งสูงสุดของวัตถุ

ฉ. ความเร็ว ความเร่ง พลังงานจลน์ และ พลังงานศักย์ เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ได้ครึ่งทางจากตำแหน่งเริ่มต้นเข้าหาตำแหน่งสมดุล

ช. พลังงานรวมทั้งหมดของการเคลื่อนที่

ซ. การกระจัดของวัตถุเป็นฟังก์ชั่นของเวลา

วิธีทำ ก. หาแรงที่สปริงกระทำต่อวัตถุก่อนปล่อย

= =

ข. หาคาบภายหลังจากที่ปล่อยวัตถุ

= =

ค. หาแอมปลิจูดของการเคลื่อนที่

แอมปลิจูดการกระจัดมากที่สุด

ง. หาความเร็วสูงสุดของวัตถุ

= =

ความเร็วสูงสุดจะอยู่ที่จุดสมดุล คือจุดที่พลังงานจลน์สูงสุด จะมีสองค่า คือขณะที่ผ่านจุดสมดุลขณะไปและกลับ

จ. หาความเร่งสูงสุดของวัตถุ

ความเร่งจะมีค่าสูงสุดที่ปลายสุดของเส้นทาง นั่นคือความเร่งจะมีสองค่า คือขณะที่แอมปลิจูลเท่ากับ และ

ฉ. หาความเร็ว ความเร่ง พลังงานจลน์ และ พลังงานศักย์ เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ได้ครึ่งทางจากตำแหน่ง เริ่มต้นเข้าหาตำแหน่งสมดุล

เมื่อ = =

= =

ช. หาพลังงานรวมทั้งหมดของการเคลื่อนที่

= =

หรือ = =

ซ.หาการกระจัดของวัตถุเป็นฟังก์ชั่นของเวลา

จาก =

เมื่อ ; ; และที่ ; จะได้

= =

จะได้

= หรือ

15.5 รูปแบบต่าง ๆ ของการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิก

ก. ลูกตุ้มนาฬิกาอย่างง่าย (Simple Pendulum)

พิจารณาวัตถุที่ปลายเชือกเบาดังรูปที่ 15.5 แรงที่กระทำต่อวัตถุประกอบด้วย แรงโน้มถ่วง กับแรงตึงเชือก ให้ เป็นจุดหมุน แรงตึงเชือกจะไม่ทำให้เกิดทอร์ก แรงที่มีผลต่อการหมุนคือแรงโน้มถ่วง จากสมการการหมุน

(ให้ คือความยาวเชือก)

เมื่อแกว่งเป็นมุมเล็ก ๆ จะได้ว่า

สมการที่ได้คือสมการการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิก ความเร่ง

เชิงมุมจะเป็นปฎิภาคโดยตรงกับการกระจัดเชิงมุม แต่ทิศตรงกันข้าม

รูปที่ 15.5 เปรียบเทียบกับสมการการเคลื่อนที่ของมวลที่ติดปลายสปริง เมื่อเปรียบเทียบความเร่ง การกระจัด

ดังนั้นสมการการเคลื่อนที่เชิงมุม จะเป็นการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิก จะได้ความถี่เชิงมุมของการแกว่งแบบลูกตุ้มนาฬิกาอย่างง่าย

ตัวอย่างที่ 15.6 จงหาความยาวเชือกของการแก่วงแบบลูกตุ้มนาฬิกาอย่างง่าย ที่ทำให้คาบการแก่วงมีค่า

วิธีทำ =

แต่ = =

= =

แทนค่าต่าง ๆ ลงในสมการ

ข. ลูกตุ้มทอร์ชั่น (Torsional Pendulum)

จากรูปที่ 15.6 เมื่อบิดมวลซึ่งติดอยู่ที่ปลายแท่งโลหะเบาเป็นมุมน้อย ๆ โดยที่จุดกึ่งกลางของแท่งโลหะตรึงติดกับปลายลวดแล้วปล่อย เส้นลวดจะทำให้เกิดทอร์คบนระบบมวลทั้งสองเกิดการบิดไปมารอบจุด จะได้

เมื่อ เรียกว่าค่าคงที่ของการบิด (torsion constant)

จากสมการการหมุน

รูปที่ 15.6

สมการที่ได้คือสมการการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิก ความเร่งเชิงมุมจะแปรผันตรงกับการกระจัดเชิงมุมโดยมีทิศทางตรงกันข้าม จะได้ความถี่เชิงมุมของการแกว่งแบบลูกตุ้มทอร์ชั่นคือ

คือโมเมนต์ความเฉื่อยของมวลทั้งสองที่ติดอยู่ที่ปลายแท่งโลหะเบา

ตัวอย่างที่ 15.7 จากรูปที่ 15.6 ถ้ามวลทั้งสองอยู่ห่างกัน มวลแต่ละก้อนมีค่า ถ้าคาบการแกว่งมีค่า จงหาค่าคงที่ของการแกว่ง

วิธีทำ จากความถี่เชิงมุมของการแกว่งแบบลูกตุ้มทอร์ชั่น

เมื่อโมเมนต์ความเฉื่อยของมวลที่ติดอยู่ที่ปลายแท่งโลหะเบาและมีจุดหมุนอยู่ที่จุดหมุนอยู่ที่จุดกึ่งกลางของแท่งโลหะเบา

ค.ลูกตุ้มฟิสิกัล (Physics Pendulum)

ลูกตุ้มฟิสิกัลป์ประกอบด้วยวัตถุเนื้อเดียวกัน โดยมีแรงโน้มถ่วงที่กระทำผ่านจุดศูนย์กลางมวล ทำให้เกิดทอร์ก จากรูปที่ 15.7 ไม้เบสบอลแขวนอยู่ที่ปลายด้านหนึ่ง แรงโน้มถ่วงจะทำให้เกิดการหมุนรอบจุด จากสมการการหมุน

รูปที่ 15.7

เมื่อ และ จะขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุดหมุน ถ้าให้ แกว่งเป็นมุมน้อย ๆ จะได้ จะได้

สมการที่ได้คือสมการการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิกอย่างง่าย ความเร่งเชิงมุมจะแปรผันตรงกับการกระจัดเชิงมุมแต่มีทิศตรงกันข้าม จะได้ความถี่เชิงมุมของการแกว่งของลูกตุ้มนาฬิกาอย่างง่ายคือ

ตัวอย่างที่ 15.8 จากรูปที่ 15.7 จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของไม้เบสบอล

วิธีทำ จากสมการความถี่เชิงมุมของการแกว่งของลูกตุ้มนาฬิกาอย่างง่าย

กำหนดให้

โมเมนต์ความเฉื่อยของไม้เบสบอลรอบจุด มีค่า เมื่อ เป็นค่าคงที่ ; เป็นมวลของ ไม้เบสบอล ; คือความยาวของไม้เบสบอล ; คือระยะห่างจากจุดหมุนถึงจุดศูนย์กลางมวล ; คือคาบการแกว่ง

จาก

จะได้

ให้ ; ; และ

นั่นคือค่าโมเมนต์ความเฉื่อยของไม้เบสบอลเมื่อจุดหมุนอยู่ที่ปลาย จะมีค่ามากกว่า 1 ใน 3 ของโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุรูปร่างสม่ำเสมอและมีจุดหมุนอยู่ที่ปลาย

ตัวอย่างที่ 15.9 ไม้คอร์ดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน มีความหนาแน่น ลอยอยู่ในน้ำ จากนั้นกดให้ไม้คอร์ดจมลงไปมากกว่าระดับสมดุลดังรูปที่ 15.8 แล้วปล่อยให้ไม้คอร์ดเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์โมนิก จงหาคาบของการสั่น