home movie radio music chord lyrics book game Dictionary clip
HOME HAND MADE RADIO SHOP CHORD LYRICS BOOKS GAME Dictionary Clip




 
หน้าหลัก | บทที่ 1 | บทที่ 2 | บทที่ 3 | บทที่ 4 | บทที่ 5 | บทที่ 6 | บทที่ 7 | บทที่ 8 | บทที่ 9 | บทที่ 10 | บทที่ 11 | บทที่ 12 | บทที่ 13 | บทที่ 14 | บทที่ 15 |
 

บทที่ 2 เวกเตอร์ (Vector)

 

เนื้อหาประกอบด้วย

2.1 ระบบพิกัด

2.2   เวกเตอร์

2.3   ส่วนประกอบของเวกเตอร์

2.4   การบวกเวกเตอร์

2.5   เวกเตอร์ตำแหน่ง

2.6   การคูณเวกเตอร์

          เวกเตอร์เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่ง ซึ่งดูเหมือนไม่มีความจำเป็นแตเป็นเครื่องมืออย่างแรกที่ต้องใช้  อย่างไรก็ตามในการศึกษาทางฟิสิกส์เวกเตอร์เป็นเครื่องมือที่มีความสำคัญ  เพื่อช่วยในอำนวยความสะดวกในการคำนวณ

 

2.1      ระบบพิกัด (แกนอ้างอิง)

          ระบบพิกัดมีความสำคัญเพื่อช่วยในการวัดมีความหมาย  เช่นอีก 800 m ถึงอาคารวิทยาศาสตร์เป็นการบอกที่ไม่สมบูรณ์  เนื่องจากไม่ทราบว่าเริ่มต้นที่ตำแหน่งใด

 

          ดังนั้นในการกำหนดระบบพิกัดต้องทราบ

ก.     จุดเริ่มต้น

ข.     ชนิดของระบบพิกัด (พิกัดฉาก ; พิกัดเชิงขั้ว ; พิกัดทรงกระบอก)

ค.     ทิศตามแกน

 

ระบบพิกัดแบบมาตรฐานใน 2 มิติ

ได้แก่ระบบพิกัดฉาก (Cartesian)   และ    ระบบพิกัดเชิงขั้ว (Polar)

 

 

                                                          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

รูปที่  2.1 แสดงระบบพิกัดใน  มิติ

 

 

 

 

 

 

 

 

ตัวอย่างที่ 2.1  จงหาระบบพิกัดเชิงขั้วของจุด  ดังรูปที่ 2.2

 

วิธีทำ   จากทฤษฎีพิธากอรัส

 

                 =                                          =                                  =      

                 =      

                   =      

 

 

 

                    รูปที่  2.2                          

                  

 

          ระบบพิกัดแบบมาตรฐานใน 3 มิติ

          ได้แก่ระบบพิกัดฉาก (Cartesian)   และ    ระบบพิกัดทรงกระบอก (Cylindrical) และระบบพิกัดทรงกลม (Spherical)

 

 

 

                                     

 

                                                                            

 

รูปที่ 2.3 ระบบพิกัดฉากใน  3 มิติ

 

 

2.2      เวกเตอร์

          สเกลาร์ : ปริมาณที่มีเฉพาะขนาดอย่างเดียว

          เวกเตอร์ : ปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง

 

 

 

 

 

 

 

ตัวอย่างที่ 2.2 นักศึกษาคนหนึ่งเดินทางไปทางทิศตะวันออกเฉียงไปทางเหนือได้ระยะทาง  ดังรูปที่ 2.4 ขวามมือ  จงเขียนรูปแสดงการเดินทางในรูปของเวกเตอร์

    

 

              

วิธีทำ  เราสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของเวกเตอร์ได้ดังรูปที่ 2.4 ทางซ้ายมือ เมือความยาวของลูกศรแทนขนาดของเวกเตอร์มีค่าเท่ากับ    (โดยใช้มาตราส่วน ) หัวลูกศรแสดงทิศทางของเวกเตอร์

 

 

 

 

 

 

                     รูปที่ 2.4

 

ข้อสังเกตุ เวกเตอร์สามารถเลื่อนออกจากจุดเริ่มต้นได้  โดยขนาดและทิศทางคงที่

          การเขียนเวกเตอร์ดังรูปที่ 2.4 เป็นการไม่สะดวกเราสามารถเขียนใหม่ได้เป็น   ทำมุม  กับแกน  ในหนังสือเล่มนี้จะแทนเวกเตอร์ด้วย

 

2.4      ส่วนประกอบของเวกเตอร์

ตัวอย่างที่ 2.3  นักศึกษาคนหนึ่งเดินทางไปทางทิศตะวันออกเฉียงไปทางทิศเหนือได้ระยะทาง  ดังรูปที่ 2.5 จงหาระยะทางที่เขาเดินทางได้ในทิศเหนือและทิตะวันออก

                                     

 

                                                          วิธีทำ เปลี่ยนจากระบบพิกัดเชิงขั้วเป็นระบบพิกัดฉากจากรูปที่ 2.5 จะได้

                 =      

                   =      

                   =        ทิศเหนือ

                 =      

                   =      

                    =        ทิศตะวันออก

          ส่วนของเวกเตอร์  บนแกน  และ  เราเรียกว่า "ส่วนประกอบ"  ของเวกเตอร์

 

                  

 

          รูปที่ 2.5

 

 

 

 

 

 

 

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย  คือเวกเตอร์ที่มีขนาด 1 หน่วย และมีทิศทางตามเวกเตอร์ที่พิจารณา เช่น ให้  เป็นเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ  และ  เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ที่มีทิศเดียวกับเวกเตอร์  ดังรูปที่ 2.6

 

                                 =        

หรือเขียนใหม่ได้เป็น

                         =      

 

 

 

          รูปที่ 2.6

 

ดังนั้นในระบบพิกัดแกนมุมฉาก เวกเตอร์หนึ่งหน่วยแทนด้วย

           มีขนาด 1 หน่วยทิศตามแกน  

           มีขนาด 1 หน่วยทิศตามแกน  

           มีขนาด 1 หน่วยทิศตามแกน  

โดยเวกเตอร์ทั้งสามตั้งฉากซึ่งกันและกัน และเวกเตอร์ทั้งสามจะเรียงกันในทิศทวนเข็มนาฬิกา

          จากตัวอย่างที่ 2.3   คำตอบที่ได้สามารถเขียนใหม่ได้เป็น  เป็นการเขียนในรูปแบบมาตรฐานซึ่งมีความสะดวกมากเมื่อนำไปใช้ในการบวกและการคูณเวกเตอร์

          รูปแแบบทั่ว ๆ ไปของเวกเตอร์เขียนได้ดังนี้   เมื่อ   คือส่วนประกอบบนแกน  ของ    ;  คือส่วนประกอบบนแกน  ของ   ;   คือส่วนประกอบบนแกน  ของ   เป็นเวกเตอร์ใน 3 มิติ

 

 

ส่วนประกอบของเวกเตอร์ใน 3 มิติ

                                     

          ถ้า  อยู่บนระบบพิกัดฉาก ; ;  โดยที่  ทำมุม ; ; กับแกน ; และ ตามลำดับ ดังรูปที่ 2.7

          ส่วนประกอบของ  บนระนาบ  และ  คือ

                =      

                   =      

เพราะว่า    =      

แต่            =      

               =      

                =      

 

                   รูปที่ 2.7

 

          ทิศทางของเวกเตอร์  หาได้โดยใช้โคไซน์บอกทิศ (direction cosine) โดยที่  ; ;  เมื่อ

                  

          ดังนั้นส่วนประกอบของ  บนแกน ;  และ  เขียนใหม่ได้เป็น

                         =      

                             =      

 

2.4      การบวกเวกเตอร์

          เวกเตอร์  สามารถหาได้จากส่วนประกอบของเวกเตอร์เข้าด้วยกันแสดงดังรูปที่ 2.8 เมื่อ 

 

          การบวกเวกเตอร์ทำได้โดยการนำหางของเวกเตอร์ตัวที่สอง   ต่อเข้ากับหัวของเวกเตอร์อันแรก  ส่วน   ได้จากการลากจากหางของเวกเตอร์อันแรกไปยังหัวเวกเตอร์ตัวที่สอง

 

 

 

 

 

รูปที่ 2.8 แสดงการบวกเวกเตอร์

 

ตัวอย่างที่ 2.4  จงหาระยะการกระจัดทั้งหมดของนักศึกษาคนหนึ่งซึ่งเดินทางไปทางทิศตะวันออกเฉียงไปทางเหนือได้ระยะทาง  จากนั้นเดินทางไปทางทิศตะวันออก   ดังรูปที่ 2.9

         

 

วิธีทำ  จากตัวอย่างที่ 2.3 ระยะการกระจัดครั้งแรกคือ

                =      

ระยะการกระจัดครั้งที่ 2

                =      

คำตอบที่ได้คือเวกเตอร์   ซึ่งเราเรียกว่า ผลลัพธ์  ผลลัพธ์ที่ได้นี้สามารถหาได้ดังนี้

                

 

 

            รูปที่  2.9

 

ก.     เขียนรูป โดยการกำหนดมาตราส่วนแล้วนำมาเขียนรูปผลลัพธ์ที่ได้  หาได้โดยการวัดดังรูปที่ 2.9

ข.    วิธีคำนวณ  โดยการแยกองค์ประกอบของ และ ลงบนบนแกน  และ

แกน  จากนั้นนำองค์ประกอบในแต่ละแกนมารวมกัน

          องค์ประกอบบนแกน    ของเวกเตอร์   หาได้จากการนำองค์ประกอบบนแกน  ของ  และ มาบวกกัน

      =      

          =      

          =      

          ในทำนองเดียวกันองค์ประกอบบนแกน  

ของเวกเตอร์   หาได้จากการนำองค์ประกอบบนแกน  ของ  และ มาบวกกัน

     =      

          =      

          =      

 

          รูปที่ 2.10                                             

 

ค.     ใช้เวกเตอร์หนึ่งหน่วย

เมื่อ                         =      

                        =           

จัดรูปใหม่

                    =      

                        =      

 

          จากคำตอบที่ได้ในข้อ ข. และ ข้อ ค. เราสามารถหาผลลัพธ์ได้โดยใช้พิธากอรัส และอาศัยฟังก์ชั่นทางตรีโกณมิติจากสามเหลี่ยมมุมฉากดังรูปที่  2.11   จากวิธีคำนวณจะสังเกตุเห็นว่าเมื่อเขียนอยู่ในรูปของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยทำให้เราสามารถหาผลลัพธ์ได้สะดวกยิ่งขึ้น

                                     

                =      

                    =      

                   =      

                 =      

                    =      

                   =         กับแกน

 

  รูปที่ 2.11              

 

นอกจากนี้ปริมาณเวกเตอร์ได้แก่ การกระจัด ความเร็ว ความเร่ง  แรง โมเมนตัม  ทอร์ค  น้ำหนักเป็นต้น    

 

 

 

 

 

ตัวอย่างที่ 2.5 รถยนต์คันหนึ่งวิ่งไปทางทิศเหนือด้วยความเร็ว    จากนั้นเลี้ยวไปทางทิศตะวันตกและวิ่งด้วยความเร็ว   ดังรูปที่ 2.12  จงหาการเปลี่ยนแปลงความเร็วของรถยนต์

                                                         

 

 

          วิธีทำ  จากรูปที่ 2.12 เมื่อนำมาเขียนในรูปของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย

      =      

      =      

 

 

 

 

 

                   รูปที่ 2.12

 

          แต่อัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็วคือ

               =      

                   =      

          นั่นคือการลบเวกเตอร์ เป็นการบวกเวกเตอร์ในทิศตรงกันข้ามคือ  เมื่อนำรูปมาเขียนใหม่ได้ดังรูปที่  2.13 ดังนั่นอัตราเร็วเมื่อเขียนอยู่ในรูปของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย

     =      

          =      

                             รูปที่ 2.13                

 

         เราสามารถหาขนาดและทิศทางของ   ได้ดังนี้                  

     =         

=      

=      

 

 

         

รูปที่ 2.14

 

 

                          =      

                             =      

                             =         กับแกน   ดังรูปที่ 2.14

 

2.5      เวกเตอร์ตำแหน่ง

            เวกเตอร์ตำแหน่ง คือเวกเตอร์ทีบอกตำแหน่งของวัตถุเมื่อเทียบกับจุดใดจุดหนึ่งดังรูปที่ 2.15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

รูปที่ 2.15 แสดงเวกเตอร์ตำแหน่ง

 

          จากรูปที่ 2.15 เด็กผู้หญิง นายพราน ผู้ชาย และนกตัวที่บิน สังเกตุนกตัวที่เกาะอยู่บนต้นไม้โดยเทียบกับตัวเอง เช่น  เป็นเวกเตอร์บอกตำแหน่งของผู้ชายเทียบกับนกตัวที่เกาะอยู่บนต้นไม้ หรือ  เป็นเวกเตอร์บอกตำแหน่งของนกตัวที่บินเทียบกับนกตัวที่เกาะบนต้นไม้

            ตำแหน่งของนกที่เกาะอยู่บนต้นบนไม้จะอยู่ที่ตำแหน่งต่างกันเมื่อผู้สังเกต

ต่างกันดังนั้น  ดังนั้นเพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาดังกล่าวการบอกเวกเตอร์ตำแหน่ง จึงกำหนดจุดใดจุดหนึ่งเป็นจุดเปรีบยเทียบ ไม่ว่าใครจะเป็นผู้สังเกตก็ให้ใช้จุดเปรียบเทียบจุดเดียวกัน แสดงดังรูปที่ 2.16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

รูปที่ 2.16 เวกเตอร์ตำแหน่งของจุด  และจุด

 

          จากรูปที่ 2.16 ให้  และ  เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งของจุด (ผู้ชาย) อยู่ที่ตำแหน่ง   และ  (นกเกาะที่ต้นไม้) อยู่ที่ตำแหน่ง เมื่อเทียบกับจุด  (เด็กผู้หญิง) อยู่ที่ตำแหน่ง จะได้

                 =                     (มอง)

                   =      

                   =      

                =                     (มอง )

                   =      

                   =      

          อาศัยการบวกเวกเตอร์โดยการเขียนรูปจะได้

                =      

              =                  (มอง )

                   =         (ตำแหน่งสุดท้ายลบตำแหน่งตั้งต้น)

 

ตัวอย่างที่ 2.6  จากรูปที่ 2.17 เวกเตอร์  มีขนาด  100 หน่วย โดยแนวของเวกเตอร์   ผ่านจุด  หน่วย เวกเตอร์ มีขนาด 25 หน่วยบนแกน  และเวกเตอร์  มีขนาด 50 หน่วยบนแกน  จงหา

 

 

 

 

 

          วิธีทำ คำนวณโดยใช้ เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (unite vector)

 

          สมมติให้  อยู่ที่จุด

         

               =        และ

              =      

         

         

                  

 

                    รูปที่ 2.17

 

                                  =      

                                       =      

                                      =                     =          หน่วย

                                      =         หน่วย

แต่                                =                 =         หน่วย

ดังนั้น                          =                    =       หน่วย

                                 =      

                                 =      

                    =      

 

คำนวณโดยใช้โคไซน์บอกทิศ (direction cosine)

                                  =      

                                       =      

                                       =                     =          หน่วย

                                      =         หน่วย

 

เมื่อ                    =      

                       =      

 

 

แต่                =       =         หน่วย

                   =                 =         หน่วย

                   =       =         หน่วย

จากโจทย์            =        หน่วย

ดังนั้น                =        หน่วย

                       =      

                       =      

          =      

 

2.6      การคูณเวกเตอร์

การคูณเวกเตอร์มี  2 ชนิดได้แก่

          ก. ผลคูณที่ได้เป็นปริมาณสเกลาร์ เรียกว่าผลคูณแบบดอท (dot product) หรือผลคูณสเกลาร์ (scalar product)

          ข. ผลคูณที่ได้เป็นปริมาณเวกเตอร์  เรียกว่าผลคูณแบบครอส (cross product) หรือผลคูณเวกเตอร์ (vector)

 

          ให้            =      

                         =      

           ผลคูณสเกลาร์ :     

  =  

          = 

(เพราะว่า  และ )

          รูปที่ 2.18

 

เมื่อ      และ   คือขนาดของเวกเตอร์   และ 

            คือมุมระหว่างเวกเตอร์    และ   เมื่อ

          จากรูปที่ 2.18 เงาของ บน คือ  และ เงาของ บน คือ  นั่นคือผลคูณสเกลาร์คือการคูณเวกเตอร์กับเงาของอีกเวกเตอร์หนึ่ง

 

ผลคูณเวกเตอร์ :

                              

                             =      

                     

เมื่อ   คือเวกเตอร์ผลลัพธ์ทิศของเวกเตอร์   หาได้โดยใช้กฎมือขวาเมื่อ   แสดงดังรูปที่ 2.19  เพื่อความสะดวกในการคำนวณเราสามารถหาผลคูณแบบเวกเตอร์ได้โดยใช้เมตริกซ์

 

            =      

   

 

         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                               

 

                                      รูปที่ 2.19

         

                     =      

                            

 

                             =      

 

 

 

 

          การพิจาณาเครื่องหมายผลคูณเวกเตอร์พิจารณาโดยการตั้งแกนแบ่งครึ่งทั้งสองข้างให้เท่ากันค่าทางซ้ายเครื่องหมายลบ ค่าทางขวาเครื่องหมายบวกตามระบบแกน

 

 

          หรือการพิจาณาเครื่องหมายผลคูณเวกเตอร์ดังรูปที่ 2.20 ทิศทวนเข็มเครื่องหมายบวก ทิศตามเข็มเครื่องหมายลบเมื่อ

 ;   ;   ;  ;  ;

 

 

 

 

 

 

 

                รูปที่  2.20

 

ตัวอย่างที่ 2.6  พิจารณาเวกเตอร์   และ  จงหา

ก.     ผลคูณสเกลาร์

ข.     ผลคูณเวกเตอร์

ค.     มุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง

วิธีทำ

          .         =      

                             =      

                             =      

 

          .         =      

 

                             =               =      

 

 

                   =      

 

                   =      

 

ผลคูณแบบเวกเตอร์   มีขนาด  หน่วย  ทิศตามแกน

 

 

 

.         =      

                 =      

                   =      

                   =      

                   =      

 

สรุป

ระบบพิกัดฉาก  มีความสำคัญ และใช้ในการระบุตำแหน่ง

เวกเตอร์  แสดงตำแหน่งและทิศทาง

ส่วนประกอบเวกเตอร์ :  และ

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย 

การบวกเวกเตอร์ :  เมื่อ  และ

ผลคูณสเกลาร์ :

ผลคูณเวกเตอร์ : =

 

 

 

 

 
Bookmark This Page