บทที่ 2 เวกเตอร์ (Vector)

บทที่ 2 เวกเตอร์ (Vector)

เนื้อหาประกอบด้วย

2.1 ระบบพิกัด

2.2 เวกเตอร์

2.3 ส่วนประกอบของเวกเตอร์

2.4 การบวกเวกเตอร์

2.5 เวกเตอร์ตำแหน่ง

2.6 การคูณเวกเตอร์

เวกเตอร์เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่ง ซึ่งดูเหมือนไม่มีความจำเป็นแตเป็นเครื่องมืออย่างแรกที่ต้องใช้ อย่างไรก็ตามในการศึกษาทางฟิสิกส์เวกเตอร์เป็นเครื่องมือที่มีความสำคัญ เพื่อช่วยในอำนวยความสะดวกในการคำนวณ

2.1 ระบบพิกัด (แกนอ้างอิง)

ระบบพิกัดมีความสำคัญเพื่อช่วยในการวัดมีความหมาย เช่นอีก 800 m ถึงอาคารวิทยาศาสตร์เป็นการบอกที่ไม่สมบูรณ์ เนื่องจากไม่ทราบว่าเริ่มต้นที่ตำแหน่งใด

ดังนั้นในการกำหนดระบบพิกัดต้องทราบ

ก. จุดเริ่มต้น

ข. ชนิดของระบบพิกัด (พิกัดฉาก ; พิกัดเชิงขั้ว ; พิกัดทรงกระบอก)

ค. ทิศตามแกน

ระบบพิกัดแบบมาตรฐานใน 2 มิติ

ได้แก่ระบบพิกัดฉาก (Cartesian) และ ระบบพิกัดเชิงขั้ว (Polar)

รูปที่ 2.1 แสดงระบบพิกัดใน 2 มิติ

ตัวอย่างที่ 2.1 จงหาระบบพิกัดเชิงขั้วของจุด ดังรูปที่ 2.2

วิธีทำ จากทฤษฎีพิธากอรัส

= = =

รูปที่ 2.2

ระบบพิกัดแบบมาตรฐานใน 3 มิติ

ได้แก่ระบบพิกัดฉาก (Cartesian) และ ระบบพิกัดทรงกระบอก (Cylindrical) และระบบพิกัดทรงกลม (Spherical)

รูปที่ 2.3 ระบบพิกัดฉากใน 3 มิติ

2.2 เวกเตอร์

สเกลาร์ : ปริมาณที่มีเฉพาะขนาดอย่างเดียว

เวกเตอร์ : ปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง

ตัวอย่างที่ 2.2 นักศึกษาคนหนึ่งเดินทางไปทางทิศตะวันออกเฉียงไปทางเหนือได้ระยะทาง ดังรูปที่ 2.4 ขวามมือ จงเขียนรูปแสดงการเดินทางในรูปของเวกเตอร์

วิธีทำ เราสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของเวกเตอร์ได้ดังรูปที่ 2.4 ทางซ้ายมือ เมือความยาวของลูกศรแทนขนาดของเวกเตอร์มีค่าเท่ากับ (โดยใช้มาตราส่วน ) หัวลูกศรแสดงทิศทางของเวกเตอร์

รูปที่ 2.4

ข้อสังเกตุ เวกเตอร์สามารถเลื่อนออกจากจุดเริ่มต้นได้ โดยขนาดและทิศทางคงที่

การเขียนเวกเตอร์ดังรูปที่ 2.4 เป็นการไม่สะดวกเราสามารถเขียนใหม่ได้เป็น ทำมุม กับแกน ในหนังสือเล่มนี้จะแทนเวกเตอร์ด้วย

2.4 ส่วนประกอบของเวกเตอร์

ตัวอย่างที่ 2.3 นักศึกษาคนหนึ่งเดินทางไปทางทิศตะวันออกเฉียงไปทางทิศเหนือได้ระยะทาง ดังรูปที่ 2.5 จงหาระยะทางที่เขาเดินทางได้ในทิศเหนือและทิตะวันออก

วิธีทำ เปลี่ยนจากระบบพิกัดเชิงขั้วเป็นระบบพิกัดฉากจากรูปที่ 2.5 จะได้

= ทิศเหนือ

= ทิศตะวันออก

ส่วนของเวกเตอร์ บนแกน และ เราเรียกว่า "ส่วนประกอบ" ของเวกเตอร์

รูปที่ 2.5

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย คือเวกเตอร์ที่มีขนาด 1 หน่วย และมีทิศทางตามเวกเตอร์ที่พิจารณา เช่น ให้ เป็นเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ และ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ที่มีทิศเดียวกับเวกเตอร์ ดังรูปที่ 2.6

หรือเขียนใหม่ได้เป็น

รูปที่ 2.6

ดังนั้นในระบบพิกัดแกนมุมฉาก เวกเตอร์หนึ่งหน่วยแทนด้วย

มีขนาด 1 หน่วยทิศตามแกน

โดยเวกเตอร์ทั้งสามตั้งฉากซึ่งกันและกัน และเวกเตอร์ทั้งสามจะเรียงกันในทิศทวนเข็มนาฬิกา

จากตัวอย่างที่ 2.3 คำตอบที่ได้สามารถเขียนใหม่ได้เป็น เป็นการเขียนในรูปแบบมาตรฐานซึ่งมีความสะดวกมากเมื่อนำไปใช้ในการบวกและการคูณเวกเตอร์

รูปแแบบทั่ว ๆ ไปของเวกเตอร์เขียนได้ดังนี้ เมื่อ คือส่วนประกอบบนแกน ของ ; คือส่วนประกอบบนแกน ของ ; คือส่วนประกอบบนแกน ของ เป็นเวกเตอร์ใน 3 มิติ

ส่วนประกอบของเวกเตอร์ใน 3 มิติ

ถ้า อยู่บนระบบพิกัดฉาก ; ; โดยที่ ทำมุม ; ; กับแกน ; และ ตามลำดับ ดังรูปที่ 2.7

ส่วนประกอบของ บนระนาบ และ คือ

เพราะว่า =

แต่ =

รูปที่ 2.7

ทิศทางของเวกเตอร์ หาได้โดยใช้โคไซน์บอกทิศ (direction cosine) โดยที่ ; ; เมื่อ

ดังนั้นส่วนประกอบของ บนแกน ; และ เขียนใหม่ได้เป็น

2.4 การบวกเวกเตอร์

เวกเตอร์ สามารถหาได้จากส่วนประกอบของเวกเตอร์เข้าด้วยกันแสดงดังรูปที่ 2.8 เมื่อ

การบวกเวกเตอร์ทำได้โดยการนำหางของเวกเตอร์ตัวที่สอง ต่อเข้ากับหัวของเวกเตอร์อันแรก ส่วน ได้จากการลากจากหางของเวกเตอร์อันแรกไปยังหัวเวกเตอร์ตัวที่สอง

รูปที่ 2.8 แสดงการบวกเวกเตอร์

ตัวอย่างที่ 2.4 จงหาระยะการกระจัดทั้งหมดของนักศึกษาคนหนึ่งซึ่งเดินทางไปทางทิศตะวันออกเฉียงไปทางเหนือได้ระยะทาง จากนั้นเดินทางไปทางทิศตะวันออก ดังรูปที่ 2.9

วิธีทำ จากตัวอย่างที่ 2.3 ระยะการกระจัดครั้งแรกคือ

ระยะการกระจัดครั้งที่ 2

คำตอบที่ได้คือเวกเตอร์ ซึ่งเราเรียกว่า ผลลัพธ์ ผลลัพธ์ที่ได้นี้สามารถหาได้ดังนี้

รูปที่ 2.9

ก. เขียนรูป โดยการกำหนดมาตราส่วนแล้วนำมาเขียนรูปผลลัพธ์ที่ได้ หาได้โดยการวัดดังรูปที่ 2.9

ข. วิธีคำนวณ โดยการแยกองค์ประกอบของ และ ลงบนบนแกน และ

แกน จากนั้นนำองค์ประกอบในแต่ละแกนมารวมกัน

องค์ประกอบบนแกน ของเวกเตอร์ หาได้จากการนำองค์ประกอบบนแกน ของ และ มาบวกกัน

ในทำนองเดียวกันองค์ประกอบบนแกน

ของเวกเตอร์ หาได้จากการนำองค์ประกอบบนแกน ของ และ มาบวกกัน

รูปที่ 2.10

ค. ใช้เวกเตอร์หนึ่งหน่วย

เมื่อ =

จัดรูปใหม่

จากคำตอบที่ได้ในข้อ ข. และ ข้อ ค. เราสามารถหาผลลัพธ์ได้โดยใช้พิธากอรัส และอาศัยฟังก์ชั่นทางตรีโกณมิติจากสามเหลี่ยมมุมฉากดังรูปที่ 2.11 จากวิธีคำนวณจะสังเกตุเห็นว่าเมื่อเขียนอยู่ในรูปของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยทำให้เราสามารถหาผลลัพธ์ได้สะดวกยิ่งขึ้น

= กับแกน

รูปที่ 2.11

นอกจากนี้ปริมาณเวกเตอร์ได้แก่ การกระจัด ความเร็ว ความเร่ง แรง โมเมนตัม ทอร์ค น้ำหนักเป็นต้น

ตัวอย่างที่ 2.5 รถยนต์คันหนึ่งวิ่งไปทางทิศเหนือด้วยความเร็ว จากนั้นเลี้ยวไปทางทิศตะวันตกและวิ่งด้วยความเร็ว ดังรูปที่ 2.12 จงหาการเปลี่ยนแปลงความเร็วของรถยนต์

วิธีทำ จากรูปที่ 2.12 เมื่อนำมาเขียนในรูปของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย

รูปที่ 2.12

แต่อัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็วคือ

นั่นคือการลบเวกเตอร์ เป็นการบวกเวกเตอร์ในทิศตรงกันข้ามคือ เมื่อนำรูปมาเขียนใหม่ได้ดังรูปที่ 2.13 ดังนั่นอัตราเร็วเมื่อเขียนอยู่ในรูปของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย

รูปที่ 2.13

เราสามารถหาขนาดและทิศทางของ ได้ดังนี้

รูปที่ 2.14

= กับแกน ดังรูปที่ 2.14

2.5 เวกเตอร์ตำแหน่ง

เวกเตอร์ตำแหน่ง คือเวกเตอร์ทีบอกตำแหน่งของวัตถุเมื่อเทียบกับจุดใดจุดหนึ่งดังรูปที่ 2.15

รูปที่ 2.15 แสดงเวกเตอร์ตำแหน่ง

จากรูปที่ 2.15 เด็กผู้หญิง นายพราน ผู้ชาย และนกตัวที่บิน สังเกตุนกตัวที่เกาะอยู่บนต้นไม้โดยเทียบกับตัวเอง เช่น เป็นเวกเตอร์บอกตำแหน่งของผู้ชายเทียบกับนกตัวที่เกาะอยู่บนต้นไม้ หรือ เป็นเวกเตอร์บอกตำแหน่งของนกตัวที่บินเทียบกับนกตัวที่เกาะบนต้นไม้

ตำแหน่งของนกที่เกาะอยู่บนต้นบนไม้จะอยู่ที่ตำแหน่งต่างกันเมื่อผู้สังเกต

ต่างกันดังนั้น ดังนั้นเพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาดังกล่าวการบอกเวกเตอร์ตำแหน่ง จึงกำหนดจุดใดจุดหนึ่งเป็นจุดเปรีบยเทียบ ไม่ว่าใครจะเป็นผู้สังเกตก็ให้ใช้จุดเปรียบเทียบจุดเดียวกัน แสดงดังรูปที่ 2.16

รูปที่ 2.16 เวกเตอร์ตำแหน่งของจุด และจุด

จากรูปที่ 2.16 ให้ และ เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งของจุด (ผู้ชาย) อยู่ที่ตำแหน่ง และ (นกเกาะที่ต้นไม้) อยู่ที่ตำแหน่ง เมื่อเทียบกับจุด (เด็กผู้หญิง) อยู่ที่ตำแหน่ง จะได้

= (มอง)

= (มอง )

อาศัยการบวกเวกเตอร์โดยการเขียนรูปจะได้

= (มอง )

= (ตำแหน่งสุดท้ายลบตำแหน่งตั้งต้น)

ตัวอย่างที่ 2.6 จากรูปที่ 2.17 เวกเตอร์ มีขนาด 100 หน่วย โดยแนวของเวกเตอร์ ผ่านจุด หน่วย เวกเตอร์ มีขนาด 25 หน่วยบนแกน และเวกเตอร์ มีขนาด 50 หน่วยบนแกน จงหา

วิธีทำ คำนวณโดยใช้ เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (unite vector)

สมมติให้ อยู่ที่จุด

= และ

รูปที่ 2.17

= = หน่วย

= หน่วย

แต่ = = หน่วย

ดังนั้น = = หน่วย

คำนวณโดยใช้โคไซน์บอกทิศ (direction cosine)

= = หน่วย

= หน่วย

เมื่อ =

แต่ = = หน่วย

= = หน่วย

จากโจทย์ = หน่วย

ดังนั้น = หน่วย

2.6 การคูณเวกเตอร์

การคูณเวกเตอร์มี 2 ชนิดได้แก่

ก. ผลคูณที่ได้เป็นปริมาณสเกลาร์ เรียกว่าผลคูณแบบดอท (dot product) หรือผลคูณสเกลาร์ (scalar product)

ข. ผลคูณที่ได้เป็นปริมาณเวกเตอร์ เรียกว่าผลคูณแบบครอส (cross product) หรือผลคูณเวกเตอร์ (vector)

ให้ =

ผลคูณสเกลาร์ :

(เพราะว่า และ )

รูปที่ 2.18

เมื่อ และ คือขนาดของเวกเตอร์ และ

คือมุมระหว่างเวกเตอร์ และ เมื่อ

จากรูปที่ 2.18 เงาของ บน คือ และ เงาของ บน คือ นั่นคือผลคูณสเกลาร์คือการคูณเวกเตอร์กับเงาของอีกเวกเตอร์หนึ่ง

ผลคูณเวกเตอร์ :

เมื่อ คือเวกเตอร์ผลลัพธ์ทิศของเวกเตอร์ หาได้โดยใช้กฎมือขวาเมื่อ แสดงดังรูปที่ 2.19 เพื่อความสะดวกในการคำนวณเราสามารถหาผลคูณแบบเวกเตอร์ได้โดยใช้เมตริกซ์