บทที่ 8 ระบบอนุภาค

บทที่ 8 ระบบอนุภาค

โดยปกติอนุภาค กลุ่มอนุภาคหรือวัตถุ มักไม่อยู่โดดเดี่ยวตามลำพังแต่จะอยู่ท่ามกลางอนุภาคอื่น ๆ หรือวัตถุอื่น ๆ และอาจจะมีอันตรกิริยา (interaction) กับสิ่งเหล่านั้น เช่นมีแรงดึงดูดซึ่งกันและกัน ทำให้ไม่สะดวกในการพิจารณาการเคลื่อนที่หรือเงื่อนไขของหลาย ๆ สิ่งพร้อมกัน จึงต้องเลือกพิจารณาเฉพาะส่วนที่สนใจแยกออกมาจากส่วนอื่น ๆ ส่วนที่เราเลือกพิจารณานั้น อาจเป็นอนุภาคเดี่ยวหรือกลุ่มอนุภาค วัตถุก้อนเดียวหรือหลาย ๆ ก้อนก็ตาม เรียกรวม ๆ กันว่าระบบ (system) แรงระหว่างอนุภาคหรือวัตถุภายในระบบเรียกว่า แรงภายใน ส่วนแรงระหว่างอนุภาคหรือวัตถุภายในระบบกับสิ่งต่าง ๆ นอกระบบเรียกว่า แรงภายนอก

ในบทนี้จะทำความเข้าใจเงื่อนไขต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับวัตถุเพื่ออธิบายถึงปรากฎการณ์ต่าง ๆ ที่เกิดขึ้นโดยการประยุกต์ใช้กฎข้อสองของนิวตันที่เกี่ยวข้องกับวัตถุและระบบอนุภาค โดยพิจารณาวัตถุในลักษณะต่างๆ รวมึงวัตุขนาดเล็ก จะทำให้เราทราบว่าทำไมจึงเป็นเช่นนี้คิดอย่างนี้ นอกจากนั้นยังอธิบายถึงโมเมนตัมเชิงเส้น และกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้น

เนื้อหาประกอบด้วย

8.1 กฎข้อสองของนิวตันและระบบอนุภาค

8.2 จุดศูนย์กลางมวล

8.3 นิยามของโมเมนตัมเชิงเส้น

8.4 กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้น

8.1 กฎข้อสองของนิวตันและระบบอนุภาค

เปรียบเทียบการโยนลูกเทนนิสกับดรัมเบล ให้เคลื่อนที่แบบโปรเจคไตล์ แนวการเคลื่อนทีของวัตถุทั้งสองเราจะพิจารณาที่ส่วนไหน หรือแรงที่กระทำจะคิดที่ตรงไหน ?

ปล่อยลูกเทนนิสตามแนวดิ่งตามรูปที่ 8.1

จากกฎข้อสองของนิวตัน

รูปที่ 8.1

จากเงื่อนไขการโยนลูกเทนนิสแรงที่กระทำบนลูกเทนนิสคือแรงโน้มถ่วงกระทำที่ลูกบอลโดยตรง แต่กระทำตรงส่วนไหน ? มวลก็ยังคงเป็นมวลของลูกบอลไม่เปลี่ยนแปลงส่วนความเร่งคืออัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็วของลูกเทนนิส

เปลี่ยนจากลูกเทนนิสเป็นดรัมเบลดังรูปที่ 8.2 ซึ่งประกอบด้วยมวล 2 ก้อนและด้ามยึดระหว่างมวลทั้งสองเราจะคิดแรงกระทำที่ส่วนไหน จะคิดที่มวลแต่ละก้อนกระทำต่อด้ามยึด หรือคิดที่ด้ามยึดกะทำต่อมวลแต่ละก้อน จะใช้มวลก้อนไหนในการพิจารณา จะใช้มวลก้อนใดก้อนหนึ่ง

รูปที่ 8.2 หรือมวลทั้งสองหรือคิดทั้งหมด ส่วนน้ำหนักของดรัมเบลจะคิดที่ส่วนไหนจะคิดที่มวลแต่ละก้อน หรือที่ด้ามดรัมเบล ในส่วนของความเร่งจะพิจารณาที่มวลก้อนแรก ก้อนที่สองหรือคิดทั้งหมดให้ง่ายในการพิจารณาโดยอาศัยกฎข้อสองของนิวตัน

คำถามข้างต้นสามารถตอบได้โดยใช้แรงภายนอกเพียงแรงเดียวเท่านั้นคือน้ำหนัก ส่วนแรงภายในคือแรงที่ด้ามยึดกระทำต่อมวลแต่ละก้อนจะมีขนาดเท่ากันทิศตรงกันข้ามหักล้างกันหมดตามกฎข้อสามของนิวตัน ส่วนมวลคิดเป็นมวลรวมของทั้งระบบ และความเร่งให้คิดที่จุดจุดหนึ่งซึ่งเรียกว่าจุดศูนย์กลางมวล (center of mass, cm)

จากกฎข้อสองของนิวตัน

ตัวอย่างที่ 8.1 เมื่อโยนดรัมเบลให้เคลื่อนที่แบบโปรเจคไตล์ ให้เขียนแนวทางการเคลื่อนที่ของดรัมเบลโดยใช้จุดศูนย์กลางมวล

วิธีทำ จากรูปที่ 8.3 จะสังเกตเห็นว่าจุดศูนย์กลางมวลเคลื่อนที่แบบโปรเจคไตล์

รูปที่ 8.3

8.2 จุดศูนย์กลางมวล

จุดศูนย์กลางมวลคือตำแหน่งเฉลี่ยของมวลของวัตถุทั้งก้อน พิจารณาวัตุมัลักษณะคล้าย

ดรัมเบล จุดศูนย์กลางมวลบนแกน คือ

ตัวอย่างที่ 8.2 จงหาจุดศูนย์กลางมวลของดรัมเบลเมื่อวางบนแกน ดังรูปที่ 8.4 สมมุติให้มวลทั้งสองมีค่าเท่ากันและไม่คิดมวลของด้ามดรัมเบล

วิธีทำ =

= =

สำหรับวัตถุรูปทรงใด ๆ จุดศูนย์กลางมวลสามารถคำนวณได้โดยการแบ่งวัตถุออกเป็นส่วนเล็ก ๆ หลาย ๆ ชิ้น (ดังรูปที่ 8.5) แล้วนำส่วนเล็ก ๆ มารวมกันดังสมการ

รูปที่ 8.5

= =

ในกรณีวัตถุมีการกระจายมวลใน 2 มิติหรือ 3 มิติจะได้

นอกจากนี้จุดศูนย์กลางมวลยังสามารถเขียนอยู่ในรูปของเวกเตอร์ได้ดังนี้

หรือ =

เมื่อ คือมวลส่วนเล็ก ๆ ที่แบ่งจากมวลทั้งหมด จะได้

คือปริมาตรส่วนเล็ก ๆ

ข้อสังเกตุ

(ใช้กับวัตถุ 1 มิติ) เมื่อ คือความหนาแน่นต่อความยาวของวัตถุ

(ใช้กับวัตถุ 2 มิติ) เมื่อ คือความหนาแน่นต่อพื้นที่ของวัตถุ

(ใช้กับวัตถุ 3 มิติ) เมื่อ คือความหนาแน่นต่อปริมาตรของวัตถุ

ตัวอย่างที่ 8.3 จงหาจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุรูปทรงสามเหลี่ยมดังรูปที่ 8.6

วิธีทำ เนื่องจากวัตถุเป็นรูปทรงสามเหลี่ยมวางอยู่ในระนาบ ดังรูปดังนั้นจุดศูนย์กลางมวลจะอยู่บนทั้งแกน และแกน

แกน พิจารณาดังรูปที่ 8.6

รูปที่ 8.6 จากรูปแบ่งพื้นที่สามเหลี่ยมรูปใหญ่ออกเป็นพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมเล็ก ๆ มีมวล เมื่อมวลทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมคือ

จากรูป

= =

ถ้าไม่สนใจมุมที่พิจารณาจะได้จุดศูนย์กลางมวลของรูปสามเหลี่ยมบนแกน จะมีค่าเท่ากับ โดยวัดจากจุดยอด (จุดที่ไม่ได้อยู่บนแกน ) ดังนั้นจะได้ (วัดจากฐานอยู่บนแกน )

การหาจุดศูนย์กลางมวลบนแกน ของรูปสามเหลี่ยม

แกน พิจารณาดังรูปที่ 8.7

เมื่อ เป็นระยะที่วัดจากฐานสามเหลี่ยม ขึ้นไป

รูปที่ 8.7

จากรูป

= =

ดังนั้นจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุรูปทรงสามเหลี่ยมคือ

กฎข้อที่สองของนิวตันสามารถแสดงโดยใช้เงื่อนไขจากจุดศูนย์กลางมวลได้ดังนี้

จากนั้นใช้เงื่อนไขของความเร็วและความเร่ง

เปรียบเทียบกฎข้อสองของนิวตันเมื่อคิดจากมวลแต่ละก้อนกับระบบอนุภาค

ดังนั้นแรงลัพธ์ ที่เกิดจากมวลแต่ละก้อนของระบบอนุภาคคือแรงลัพธ์จากแรงภายนอก เนื่องจากแรงกริยาและรงปฎิกริยาจะหักล้างกันหมด

8.3 นิยามของโมเมนตัม

จากกฎข้อที่สองของนิวตัน

ถ้าให้มวลของวัตถุคงที่เราสามารเขียนใหม่ได้เป็น

ค่าที่อยู่ในวงเล็บเรียกว่าโมเมนตัม

นิยามโมเมนตัมเชิงเส้น

กฎข้อสองของนิวตันเมื่อเขียนอยู่ในรูปของโมเมนตัม

= (พื้นฐานกฎข้อสองของนิวตัน)

กฎข้อนี้สามารถนำไปประยุกต์ใช้กับระบบที่มวลแปรค่าได้ดี

ตัวอย่างที่ 8.4 ลูกเทนนิสมวล เคลื่อนที่ในแนวเส้นตรงด้วยความเร็ว เข้ากระทบไม้เทนนิสแล้วสะท้อนกลับในแนวเดิมด้วยความเร็ว ดังรูปทึ่ 8.8 ถ้าลูกเทนนิสกระทบไม้ในเวลา จงหา

ก.โมเมนตัมเริ่มต้น

ข. โมเมนตัมสุดท้าย

ค. แรงเฉลี่ยที่กระทำต่อลูกเทนนิส

รูปที่ 8.8

วิธีทำ ก. จากนิยามของโมเมนตัมเชิงเส้น

= =

ข. จากนิยามของโมเมนตัมเชิงเส้น

= =

เมื่อโมเมนตัมเป็นปริมาณเวกเตอร์ ดังนั้นความเร็วปลายมีทิศตรงข้ามกับความเร็วต้น จึงมีเครื่องหมายเป็นลบ

ค. การประยุกต์ใช้กฎข้อสองของนิวตัน

= =

แรงจะกระทำต่อลูกเทนนิสไปทางซ้ายมือ ทางแกน

8.4 กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้น

วัตถุส่วนมากที่พิจารณาจะถูกแรงภายนอกกระทำ ในกรณีที่ไม่มีแรงภายนอกมากระทำกับวัตถุ จากกฎข้อสองของนิวตัน

เมื่อไม่มีแรงภายนอกมากระทำ

= =

นั่นคือโมเมนตัมเชิงเส้นไม่มีการเปลี่ยนแปลง (คงที่)

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้น "ผลรวมของโมเมนตัมเชิงเส้นของวัตถุ ก่อนการเปลี่ยนแปลงกับภายหลังการเปลี่ยนแปลงจะมี่ค่าคงที่

ตัวอย่างที่ 8.5 มนุษย์อวกาศหนัก ขว้างประแจหนัก ออกไปด้วยความเร็ว ดังรูปที่ 8.9 จงคำนวณหาความเร็วสะท้อนกลับของมนุษย์อวกาศ

รูปที่ 8.9

วิธีทำ พิจารณาระบบประกอบด้วยมนุษย์อวกาศและประแจก่อนการเปลี่ยนแปลง (อยู่รวมกัน) และภายหลังการเปลี่ยนแปลง (แยกจากกัน) เมื่อระบบมีการเปลี่ยนแปลงคือมีแรงที่มนุษย์อวกาศกระทำต่อประแจเพียงแรงเดียว แรงนี้จะมีค่าเท่ากับแรงที่ประแจกระทำต่อมนุษย์อวกาศแต่มีทิศตรงกันข้าม จากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้นจะได้

= =

ตัวอย่างที่ 8.6 นิวตรอนวิ่งด้วยความเร็ว เข้าชนดิวเทอรอน ทำให้เกิดการแตกตัวกลายเป็นนิวตรอนและโปรตรอน โดยที่นิวตรอนตัวแรกยังคงวิ่งไปในทิศทางเดิมและมีความเร็ว ส่วนนิวตรอนตัวที่สองทำมุม กับแนวระดับและมีความเร็ว ดังรูปที่ 8.10 จงหาความเร็วของโปตรอน กำหนดให้มวลของโปรตรอนและนิวตรอนมีค่าเท่ากัน