home movie radio music chord lyrics book game Dictionary clip
HOME HAND MADE RADIO SHOP CHORD LYRICS BOOKS GAME Dictionary Clip




 
หน้าหลัก | บทที่ 1 | บทที่ 2 | บทที่ 3 | บทที่ 4 | บทที่ 5 | บทที่ 6 | บทที่ 7 | บทที่ 8 | บทที่ 9 | บทที่ 10 | บทที่ 11 | บทที่ 12 | บทที่ 13 | บทที่ 14 | บทที่ 15 |
 

บทที่ การเคลื่อนที่ใน 2 มิติและ 3 มิติ

 

เนื้อหาประกอบด้วย

3.1 คำจำกัดความของตำแหน่ง  การกระจัด  ความเร็วและความเร่ง

3.2   การเคลื่อนที่แบบโปรเจคไตด์

3.3   การเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอ

 

          การเคลื่อนที่ใน 2 มิติและ 3 มิติ วัตถุไม่จำเป็นต้องเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงเสมอไป  ในบทนี้จะอธิบายถึงความหมายของคำต่าง ๆ เพื่อให้เกิดความเข้าใจเกี่ยวกับ ตำแหน่ง  การกระจัด  ความเร็ว  ความเร่ง  โดยอาศัยเงื่อนไขของเวกเตอร์เพื่ออธิบายปรากฎการต่าง ๆ ที่เกิดขึ้น

 

3.1 คำจำกัดความตำแหน่ง การกระจัด ความเร็วและความเร่ง

          คำจำกัดความเกี่ยวกับตำแหน่ง  การกระจัด ความเร็วและความเร่ง  ดังได้กล่าวในบทที่ 1 ในบทนี้จะอธิบายในรูปของเวกเตอร์

ตำแหน่ง : บริเวณที่ตั้งของวัตถุซึ่งสัมพันธ์กับระบบพิกัดฉาก

         

 

                            

          จากรูปที่  3.1  แสดงตำแหน่งของวัตถุเมื่อเขียนอยู่ในรูปของเวกเตอร์

         

                 =      

 

 

 

 

 

รูปที่ 3.1 แสดงตำแหน่งของวัตถุ

 

การกระจัด : เกิดขึ้นเมื่อมีการเปลี่ยนแปลงตำแหน่ง

 

          จากรูปที่  3.2 การกระจัดเมื่อเขียนอยู่ในรูปของเวกเตอร์

 

               =      

                   =      

                   =      

                   =      

 

 

 

 

รูปที่ 3.2 แสดงการเปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุ

 

 

ความเร็วเฉลี่ย : คือการกระจัดที่เปลี่ยนไปในช่วงเวลาที่วัตถุเคลื่อนที่

เขียนในรูปสมการทางคณิตศาสตร์               =      

เมื่อแทนค่า    จากตอนต้นรูปที่ 3.2  จะได้

                          =            =      

                             =      

อัตราเร็วคือขาดของความเร็ว

เขียนในรูปสมการทางคณิตศาสตร์     =          =      

ตัวอย่างที่ 3.1 นักศึกษาคนหนึ่งเริ่มออกเดินทางจากหอพักไปทางทิศเหนือเป็นระยะทาง จากนั้นเดินไปทางทิศตะวันออกเป็นระยะทาง โดยใช้เวลาทั้งหมด   จงคำนวณหา

          . ตำแหน่งเริ่มต้น                 . ตำแหน่งสุดท้าย

          . การกระจัด                      . ความเร็วเฉลี่ย

          . อัตราเร็วเฉลี่ย

            วิธีทำ  จากรูปที่ 3.3  จะได้

 .             =      

 .            =      

 .           =      

                   =      

.              =      

                   =      

                   =      

          รูปที่ 3.3                                              

 

          .                        =            =    

                                      =      

                                      =               

 

ความเร่งเฉลี่ย  คือความเร็วของวัตุที่เปลี่ยนไปเทียบกับช่วงเวลาที่เปลี่ยนไปในการเคลื่อนที่

เขียนในรูปสมการทางคณิตศาสตร์               =      

                          =      

                             =      

                             =      

                             =      

 

                             =      

          ในกรณี 3 มิติพิจารณาทำนองเดียวกับ 2 มิติ เพียงแต่เพิ่มส่วนประกอบในแนวแกน  เข้าไป

          ตำแหน่ง :

          การกระจัด :

ความเร็วเฉลี่ย :

อัตราเร็ว :

ความเร่งเฉลี่ย :

 

ตัวอย่างที่ 3.2 ฟุตบอลมีความเร็ว   ในหน่วย   ต่อมาความเร็วเปลี่ยนเป็น   ภายในเวลา   จงหา

ก.     ความเร่งเฉลี่ยในรูปของเวกเตอร์

ข.     ขนาดของความเร่งเฉลี่ย

วิธีทำ   .             =            =      

 

                             =      

 

                             =      

          .              =          =      

 

                             =      

                             =      

 

          เพื่อความสะดวกในการคำนวณเราสามารถใช้แคลลูลัสเข้าช่วยโดยการเปลี่ยน   เป็น

  พิจารณาดังนี้

          จากนิยามของตำแหน่ง  :

          จากนิยามของการกระจัด :

          จากนิยามของความเร็ว :

          จากนิยามของอัตราเร็ว :

          จากนิยามของความเร่ง

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ตัวอย่างที่ 3.3 จงหาความเร็วขณะใดขณะหนึ่งของเข็มยาวนาฬิกาซึ่งยาว  ดัรูปที่ 3.4

วิธีทำ   จากรูปที่ 3.4 เมื่อตั้งระบบแกนพิกัดฉากดังรูป  พิจารณาเข็มนาฬิกาก่อนถึงตำแหน่งสูงสุดเล็กน้อย  โดยทำมุม  น้อย ๆ  ก่อนถึงแกน  จะได้ว่า

 

       =      

 

จากนั้นพิจารณาเข็มนาฬิกา ภายหลังผ่านจุดสูงสุดเล็กน้อย โดยทำมุม  น้อย ๆ  กับแกน  ไปทางขวามือ ดังนั้นจะได้ว่า

 

     =      

 

เมื่อ   คือความยาวของเข็มนาฬิกา

 

 

 

 

               รูปที่   3.4

 

จากคำกำจัดความของการกระจัด

 

               =                 

 

=      

=      

พิจารณา   น้อยมาก ๆ จะได้ว่า    จะได้

               =             =      

จากนิยามของความเร็ว

                 =            =      

ให้   ; ความเร็วขณะใดขณะหนึ่งเขียนได้เป็น

                 =      

เมื่อ  คือระยะทางเชิงมุมของการหมุนเป็นค่าคงที่  เมื่อหมุนครบ 1 รอบจะได้

                 =               =      

 

แทนค่าในสมการ

                 =          

                   =      

 

ตัวอย่างที่ 3.4 จากข้อ  3.3 จงหาความเร่งของปลายเข็มนาฬิกาดังรูปที่ 3.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       

      รูปที่ 3.5                                                      รูปที่ 3.6

 

วิธีทำ  เวกเตอร์ความเร็วคือเส้นสัมผัสวงกลมที่       จุดใด ๆ พิจารณาความเร็วเริ่มต้น  และความเร็วสุดท้าย   ซึ่งทำมุม  กับแนวระดับดังรูปที่ 3.5 เพื่อความสะดวกในการคำนวณเราสามารถแยก   ให้อยู่ในองค์ประกอบตามแกน   และ   ได้ดังรูปที่  3.6

                =          และ

                =      

เมื่อ     คืออัตราเร็วของปลายเข็มทั้งสอง

พิจารณาการเปลี่ยนแปลงความเร็ว

               =        

                   =      

                   =      

ให้   มีค่าน้อยมาก ๆ จะได้

         

จะได้

               =             =      

จากนิยามของความเร่ง ;       =            =      

ให้   จะได้ความเร่งขณะใดขณะหนึ่งคือ

                                    =      

                                      =      

                                      =      

 

          จากตัวอย่างที่ 3.3 และ 3.4 จะสังเกตุเห็นว่าขณะที่อัตราเร็วคงที่  แต่ทิศทางเปลี่ยนแปลง  ความเร่งก็มีค่าคงที่  แต่มีทิศเข้าสู่ศูนย์กลาง

 

ตัวอย่างที่ 3.5 แมลงตัวหนึ่งบินอยู่ที่ตำแหน่ง   ซึ่งเป็นฟังก์ชั่นของเวลา  จงหา

ก.     ความเร็วเป็นฟังก์ชั่นของเวลา

ข.     ความเร่งเป็นฟังก์ชั่นของเวลา

วิธีทำ  .              =            =      

                             =      

          .              =            =      

                             =      

 

3.2 การเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์

จากกฎการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งเราสามารถนำมาประยุกต์ใช้ในการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์ ซึ่งเป็นการเคลื่อนที่ใน  2 มิติ การเคลื่อนที่แบบนี้จะได้ความเร่ง   พิจารณาวัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว   ทิศดังรูปที่ 3.7  จากนิยามความเร็วและความเร่ง  สามารถนำมาหาสมการการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์ได้ดังนี้

 

    จากนิยามความเร่ง

       =      

   =      

          =      

 

 

 

          รูปที่  3.7

 

 

 

          จากสมการเวกเตอร์ที่ได้ เมื่อเทียบสัมประสิทธิองค์ประกอบของเวกเตอร์ในแต่ละแกน สามารถแยกเขียนได้เป็น 2 สมการคือ

                      =      

และ                  =      

                                         

          นั่นคือการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์ความเร่งจะมีค่าคงที่  การเคลื่อนที่แบบนี้สามารถแยกพิจารณาในแต่ละแกนได้โดยอาศัยเงื่อนไขที่ว่าความเร่งในแนวแกน  จะมีค่าเป็นศูนย์  จะมีความเร่งเฉพาะแกน   เท่านั้นซึ่งเป็นค่าคงที่เท่ากับ  เช่นขว้างลูกบอลออกไปในแนวระดับเราสามารแยกพิจารณาเป็นการเคลื่อนที่ได้ 2 แบบคือการเคลื่อนที่ในแนวราบด้วยความเร็วคงที่  กับการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง

          เป็นกานยากที่จะเขียนสูตรเกี่ยวกับการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์ในลักษณะต่าง ๆ ได้อย่างครบถ้วน  ตัวอย่างที่จะแสดงต่อไปนี้จะอาศัยการเคลื่อนที่ในแนวแกน   และแนวแกน  มาอธิบายถึงการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์

 

ตัวอย่างที่ 3.6 นักเบสบอลขว้างลูกบอลออกไปในแนวระดับด้วยความเร็ว  42.5 m ที่ระยะสูงจากพื้นดิน 2 m ดังรูปที่ 3.8

          . เวลาที่ลูกบอลเคลื่อนที่ถึงคนรับลูกซึ่งอยู่ห่างจากคนขว้าง  18.5 m

          . ลูกบอลจะอยู่สูงจากพื้นเท่าใด

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                          รูปที่ 3.8

 

 

วิธีทำ    ตั้งแกนอ้างอิงที่พื้น (จุดเริ่มต้นไม่ได้อยู่ที่จุด 0,0) เมื่อ

ค่าตามแกน

            ;  ;  ;  ;  ;

ค่าตามแกน

            ;  ;  ;  ;

 

          . หาเวลาจากการเคลื่อนที่ในแนวแกน

                                    =      

 

          เนื่องจากเป็นการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์ความเร่งในแนวแกน   เป็นศูนย์

 จะได้

                                     =           =      

                                       =      

. พิจารณาการเคลื่อนที่ในแนวแกน  เมื่อความเร็วต้นในแนวแกน  เป็นศูนย์

                          =      

แต่

                          =              

                             =      

 

 

ตัวอย่างที่ 3.7 ที่สนามเบสบอลแห่งหนึ่งฐานที่หนึ่งอยู่ห่างจากฐานที่สาม   ผู้รักษาฐานที่สามขว้างลูกบอลออกไปด้วยความเร็ว    ทำมุม  กับแนวระดับที่ความสูงเดียวกันไปยังฐานที่หนึ่ง จงหามุม  ดังรูปที่ 3.9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                           รูปที่ 3.9

 

วิธีทำ  แกนอ้างอิงอยู่ที่มือคนขว้าง เมื่อ

         

ค่าตามแกน

             ;  ;  ;

ค่าตามแกน

             ;  ;  ;  ;

 

 

 

พิจารณาการเคลื่อนที่ในแนวแกน

                                    =      

เมื่อ   ;

                                    =      

                                     =      

พิจารณาการเคลื่อนที่ในแนวแกน

                                    =      

                                    =      

                                   =      

                                    =      

แทนค่า  จากสมการข้างบน

                          =      

                                =      

แต่   จะได้

                                        =      

                                             =      

แทนค่าต่าง ๆ ลงในสมการเมื่อ

                                             =      

                                                =      

 

ตัวอย่างที่ 3.8 นายพรานเล็งปืนไปที่ลิงซึ่งเกาะอยู่ที่กิ่งไม้  ขณะที่นายพรานยิงปืนลิงก็ปล่อยมือจากกิ่งไม้พร้อมกัน ดังรูปที่ 3.10 จงแสดงให้เห็นว่านายพรานยิงปืนถูกลิง โดยไม่คำนึงถึงความเร็วต้น

วิธีทำ ให้ปากกระบอกปืนเป็นระดับอ้างอิง

ค่าต่าง ๆ คิดที่ลิง (monkey) ค่าตามแกน  ไม่มี มีเฉพาะค่าตามแกน

            ;  ; ;  ;

ค่าต่าง ๆ คิดที่กระสุน (bullet)           

ค่าตามแกน  

           ,  ;  ;

ค่าตามแกน  

           ;  ;  ;  ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                รูปที่ 3.10

 

 

พิจารณาที่ลิงเมื่อลิงเคลื่อนที่ตามแนวดิ่ง

                          =      

                       =                                           ……(1)

พิจารณาที่ลูกกระสุนแยกพิจารณาเป็น

 

การเคลื่อนที่ในแนวแกน 

                          =      

                             =      

                           =      

                             =                                            …..(2)

 

การเคลื่อนที่ในแนวแกน 

                          =             

                       =                                 .…(3)

แทนค่า   จากสมการที่  (2) ลงในสมการที่  (3)

                       =      

                             =      

แต่    ดังนั้นจะได้

                       =              =      

          นั่นคือกระสุนจะโดนลิง  จะสังเกตุได้ง่ายในกรณีที่ไม่มีแรงโน้มถ่วงกระสุนจะยิงถูกลิงเหมือนกัน  เนื่องจากทั้งลิงและกระสุนไม่มีแรงกระทำในแนวดิ่ง

 

 

3.3 การเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอ

พิจารณาการเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอใน 2 มิติ  การเคลื่อนที่แบบวงกลมหมายถึง   สม่ำเสมอหมายถึง    ในที่นี่จะกล่าวถึงการเคลื่อนที่แบบวงกลมด้วยความเร็วคงที่  พิจารณาความเร่งของปลายเข็มทั้งสองของเข็มนาฬิกาในตัวอย่างที่ 3.4 ดังรูปที่ 3.11 . เมื่อเวกเตอร์ความเร็วคือเส้นสัมผัสวงกลมที่จุดใด ๆ ดังนั้น ความเร็วเริ่มต้นและความเร็วสุดท้ายสามารถเขียนอยู่ในรูปของเวกเตอร์ได้ดังรูป  3.11 จะได้ส่วนประกอบในระบบพิกัดฉากของความเร็วต้น และความสุดท้าย คือ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

              รูปที่ 3.11 .                                         รูปที่ 3.11

 

                         =      

และ                     =      

เมื่อ  คืออัตราเร็วของปลายเข็มทั้งสอง ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงความเร็วคือ

                        =      

                             =      

                             =      

             

ถ้า   มีค่าน้อยมาก ๆ 

                                  =        

จะได้                           =      

จากนิยามความเร่ง              =            =      

                                      =      

                                      =      

 

                                    =      

นั่นคือความเร็วจะคงที่ แต่ความเร่งมีทิศสู่ศูนย์กลางเรียกว่า  "ความเร่งสู่ศูนย์กลาง "

แทนด้วย

                                   =      

          วัตถุยังคงเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอ  แต่ความเร่งมีทิศเข้าสู่ศูนย์กลางโดยมีขนาดคงที่

 

ตัวอย่างที่ 3.9 จงหา ก. ความเร็ว  ข. ความเร่ง ของคนที่ยืนอยู่ที่จุดศูนย์สูตร

วิธีทำ  . ความเร็วคือระยะทางที่เคลื่อนที่ต่อเวลา

                                    =            =      

                                      =      

                                      =      

 

ความเร่งที่เกิดขึ้นคือความเร่งสู่ศูนย์กลาง

      =            =      

          =        

 

          การหาสมการความเร่ง  ความเร็ว  และตำแหน่งเป็นฟังก์ชั่นของเวลา  และ ความเร่ง  ความเร็ว    เป็นฟังก์ชั่นของตำแหน่งของวัตถุเมื่อเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอ   ดังรูปที่ 3.12   เริ่มต้นวัตถุอยู่บนแกน  มีความเร็ว  ทิศตามแกน  เมื่อเคลื่อนที่ครบ รอบ จะได้สมการเคลื่อนที่

 

 

 

 

 

                            

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

รูปที่ 3.12

 

                       =           =           =      

 

ค่าที่ได้เกิดจากการกวาดของมุมเมื่อเกิดการหมุนเรียกว่า " ความถี่เชิงมุม "

การกระจัดเชิงมุมเมื่อเขียนอยู่ในรูปฟังก์ชั่นของเวลา

                        =      

                      =      

                             =      

                          =      

ความเร็วเขียนอยู่ในเทอมของความเร็วเชิงมุมได้ดังนี้

                          =            =      

                             =      

และ                    =            =      

                             =      

ความเร่งเขียนอยู่ในรูปของเวกเตอร์เมื่อเป็นฟังก์ชั่นของเวลาเขียนได้เป็น

                          =      

                             =      

พิจารณาความเร่งในแนวแกน   ก่อน

                         =      

                       =      

                        =      

อินทิเกรตทั้งสองข้างโดยให้   และ  เป็นค่าคงที่

                     =      

                         =      

                             =      

 

 

จากนิยามของความเร็วสามารถหาตำแหน่งบนแกน  ได้ดังนี้

                        =      

                             =      

                         =      

อินทิเกรตทั้งสองข้าง

                       =      

                      =      

                             =      

                          =      

จากสมการความเร่งซึ่งเป็นฟังก์ชั่นของเวลา

                         =      

                             =      

จากสมการความเร็วซึ่งเป็นฟังก์ชั่นของเวลา   ยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้

                         =      

                             =      

                             =      

                             =      

                         =      

นั่นคือความเร็วมี 2 ขึ้นอยู่กับพิกัดการเคลื่อนที่

          พิจารณาความเร่งในแนวแกน   ในทำนองเดียวกับแกน  จากสมการข้างต้นจะได้ว่า

 

 

 

 

 

 

 

ตัวอย่างที่ 3.1 จากรูปที่ 3.13 ที่เวลา  ดวงจันทร์อยู่บนแกน  เมื่อเวลาผ่านไปดวงจันทร์เคลื่อนที่ดังรูปที่ 3.13  จงหา

          ก. ความถี่เชิงมุมเมื่อดวงจันทร์อยู่ที่ตำแหน่งดังรูปที่ 3.13 จงหา

          ข. ความเร็ว

          ค. ความเร่ง

          ง. เวลา

          กำหนดให้ ดวงจันทร์มีรัศมีโคจร   และ คาบการโคจร  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                 รูปที่ 3.13

 

วิธีทำ     .                    =           =      

                                      =      

จากรูปจะได้ส่วนประกอบเวกเตอร์ตำแหน่งบนแกน  และ  คือ

               และ

         

. องค์ประกอบความเร็ว ณ. ตำแหน่งดังรูปหาได้ดังนี้

   =      

          =      

          =      

   =      

          =      

          =      

ดังนั้นความเร็ว ณ. ตำแหน่งดังกล่าวคือ 

 

 

 

 

. องค์ประกอบความเร่ง ณ. ตำแหน่งดังรูป

   =      

          =      

          =      

   =      

          =      

          =      

ดังนั้นความเร่ง ณ. ตำแหน่งดังกล่าวคือ 

. พิจารณาตำแหน่งที่เป็นฟังก์ชั่นของเวลา

                                  =      

แต่    (จากโจทย์ )

                                     =      

                                       =      

                                       =          

 

สรุป

นิยามตำแหน่ง :

นิยามการกระจัด :

นิยามความเร็ว :

นิยามอัตราเร็ว :

นิยามความเร่ง :

การเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์  ความเร่งในแนวแกน  เป็นศูนย์ สามารถแยกพิจารณาในแต่ละแกนได้โดยใช้สมการการเคลื่อนที่เมื่อความเร่งคงที่

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม  ความเร่งจะมีทิศเข้าสู่ศูนย์กลาง

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง :

 

 

 

 

 

 

 

           

 
Bookmark This Page