บทที่ 3 การเคลื่อนที่ใน 2 มิติและ 3 มิติ

บทที่ 3 การเคลื่อนที่ใน 2 มิติและ 3 มิติ

เนื้อหาประกอบด้วย

3.1 คำจำกัดความของตำแหน่ง การกระจัด ความเร็วและความเร่ง

3.2 การเคลื่อนที่แบบโปรเจคไตด์

3.3 การเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอ

การเคลื่อนที่ใน 2 มิติและ 3 มิติ วัตถุไม่จำเป็นต้องเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงเสมอไป ในบทนี้จะอธิบายถึงความหมายของคำต่าง ๆ เพื่อให้เกิดความเข้าใจเกี่ยวกับ ตำแหน่ง การกระจัด ความเร็ว ความเร่ง โดยอาศัยเงื่อนไขของเวกเตอร์เพื่ออธิบายปรากฎการต่าง ๆ ที่เกิดขึ้น

3.1 คำจำกัดความตำแหน่ง การกระจัด ความเร็วและความเร่ง

คำจำกัดความเกี่ยวกับตำแหน่ง การกระจัด ความเร็วและความเร่ง ดังได้กล่าวในบทที่ 1 ในบทนี้จะอธิบายในรูปของเวกเตอร์

ตำแหน่ง : บริเวณที่ตั้งของวัตถุซึ่งสัมพันธ์กับระบบพิกัดฉาก

จากรูปที่ 3.1 แสดงตำแหน่งของวัตถุเมื่อเขียนอยู่ในรูปของเวกเตอร์

รูปที่ 3.1 แสดงตำแหน่งของวัตถุ

การกระจัด : เกิดขึ้นเมื่อมีการเปลี่ยนแปลงตำแหน่ง

จากรูปที่ 3.2 การกระจัดเมื่อเขียนอยู่ในรูปของเวกเตอร์

รูปที่ 3.2 แสดงการเปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุ

ความเร็วเฉลี่ย : คือการกระจัดที่เปลี่ยนไปในช่วงเวลาที่วัตถุเคลื่อนที่

เขียนในรูปสมการทางคณิตศาสตร์ =

เมื่อแทนค่า จากตอนต้นรูปที่ 3.2 จะได้

= =

อัตราเร็วคือขาดของความเร็ว

เขียนในรูปสมการทางคณิตศาสตร์ = =

ตัวอย่างที่ 3.1 นักศึกษาคนหนึ่งเริ่มออกเดินทางจากหอพักไปทางทิศเหนือเป็นระยะทาง จากนั้นเดินไปทางทิศตะวันออกเป็นระยะทาง โดยใช้เวลาทั้งหมด จงคำนวณหา

ก. ตำแหน่งเริ่มต้น ข. ตำแหน่งสุดท้าย

ค. การกระจัด ง. ความเร็วเฉลี่ย

จ. อัตราเร็วเฉลี่ย

วิธีทำ จากรูปที่ 3.3 จะได้

ก. =

ข. =

ค. =

ง. =

รูปที่ 3.3

จ. = =

ความเร่งเฉลี่ย : คือความเร็วของวัตุที่เปลี่ยนไปเทียบกับช่วงเวลาที่เปลี่ยนไปในการเคลื่อนที่

เขียนในรูปสมการทางคณิตศาสตร์ =

ในกรณี 3 มิติพิจารณาทำนองเดียวกับ 2 มิติ เพียงแต่เพิ่มส่วนประกอบในแนวแกน เข้าไป

ตำแหน่ง :

การกระจัด :

ความเร็วเฉลี่ย :

อัตราเร็ว :

ความเร่งเฉลี่ย :

ตัวอย่างที่ 3.2 ฟุตบอลมีความเร็ว ในหน่วย ต่อมาความเร็วเปลี่ยนเป็น ภายในเวลา จงหา

ก. ความเร่งเฉลี่ยในรูปของเวกเตอร์

ข. ขนาดของความเร่งเฉลี่ย

วิธีทำ ก. = =

ข. = =

เพื่อความสะดวกในการคำนวณเราสามารถใช้แคลลูลัสเข้าช่วยโดยการเปลี่ยน เป็น

พิจารณาดังนี้

จากนิยามของตำแหน่ง :

จากนิยามของการกระจัด :

จากนิยามของความเร็ว :

จากนิยามของอัตราเร็ว :

จากนิยามของความเร่ง :

ตัวอย่างที่ 3.3 จงหาความเร็วขณะใดขณะหนึ่งของเข็มยาวนาฬิกาซึ่งยาว ดัรูปที่ 3.4

วิธีทำ จากรูปที่ 3.4 เมื่อตั้งระบบแกนพิกัดฉากดังรูป พิจารณาเข็มนาฬิกาก่อนถึงตำแหน่งสูงสุดเล็กน้อย โดยทำมุม น้อย ๆ ก่อนถึงแกน จะได้ว่า

จากนั้นพิจารณาเข็มนาฬิกา ภายหลังผ่านจุดสูงสุดเล็กน้อย โดยทำมุม น้อย ๆ กับแกน ไปทางขวามือ ดังนั้นจะได้ว่า

เมื่อ คือความยาวของเข็มนาฬิกา

รูปที่ 3.4

จากคำกำจัดความของการกระจัด

พิจารณา น้อยมาก ๆ จะได้ว่า จะได้

= =

จากนิยามของความเร็ว

= =

ให้ ; ความเร็วขณะใดขณะหนึ่งเขียนได้เป็น

เมื่อ คือระยะทางเชิงมุมของการหมุนเป็นค่าคงที่ เมื่อหมุนครบ 1 รอบจะได้

= =

แทนค่าในสมการ

ตัวอย่างที่ 3.4 จากข้อ 3.3 จงหาความเร่งของปลายเข็มนาฬิกาดังรูปที่ 3.5

รูปที่ 3.5 รูปที่ 3.6

วิธีทำ เวกเตอร์ความเร็วคือเส้นสัมผัสวงกลมที่ จุดใด ๆ พิจารณาความเร็วเริ่มต้น และความเร็วสุดท้าย ซึ่งทำมุม กับแนวระดับดังรูปที่ 3.5 เพื่อความสะดวกในการคำนวณเราสามารถแยก ให้อยู่ในองค์ประกอบตามแกน และ ได้ดังรูปที่ 3.6

= และ

เมื่อ คืออัตราเร็วของปลายเข็มทั้งสอง

พิจารณาการเปลี่ยนแปลงความเร็ว

ให้ มีค่าน้อยมาก ๆ จะได้

จะได้

= =

จากนิยามของความเร่ง ; = =

ให้ จะได้ความเร่งขณะใดขณะหนึ่งคือ

จากตัวอย่างที่ 3.3 และ 3.4 จะสังเกตุเห็นว่าขณะที่อัตราเร็วคงที่ แต่ทิศทางเปลี่ยนแปลง ความเร่งก็มีค่าคงที่ แต่มีทิศเข้าสู่ศูนย์กลาง

ตัวอย่างที่ 3.5 แมลงตัวหนึ่งบินอยู่ที่ตำแหน่ง ซึ่งเป็นฟังก์ชั่นของเวลา จงหา

ก. ความเร็วเป็นฟังก์ชั่นของเวลา

ข. ความเร่งเป็นฟังก์ชั่นของเวลา

วิธีทำ ก. = =

ข. = =

3.2 การเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์

จากกฎการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งเราสามารถนำมาประยุกต์ใช้ในการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์ ซึ่งเป็นการเคลื่อนที่ใน 2 มิติ การเคลื่อนที่แบบนี้จะได้ความเร่ง พิจารณาวัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว ทิศดังรูปที่ 3.7 จากนิยามความเร็วและความเร่ง สามารถนำมาหาสมการการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์ได้ดังนี้

จากนิยามความเร่ง

รูปที่ 3.7

จากสมการเวกเตอร์ที่ได้ เมื่อเทียบสัมประสิทธิองค์ประกอบของเวกเตอร์ในแต่ละแกน สามารถแยกเขียนได้เป็น 2 สมการคือ

และ =

นั่นคือการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์ความเร่งจะมีค่าคงที่ การเคลื่อนที่แบบนี้สามารถแยกพิจารณาในแต่ละแกนได้โดยอาศัยเงื่อนไขที่ว่าความเร่งในแนวแกน จะมีค่าเป็นศูนย์ จะมีความเร่งเฉพาะแกน เท่านั้นซึ่งเป็นค่าคงที่เท่ากับ เช่นขว้างลูกบอลออกไปในแนวระดับเราสามารแยกพิจารณาเป็นการเคลื่อนที่ได้ 2 แบบคือการเคลื่อนที่ในแนวราบด้วยความเร็วคงที่ กับการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง

เป็นกานยากที่จะเขียนสูตรเกี่ยวกับการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์ในลักษณะต่าง ๆ ได้อย่างครบถ้วน ตัวอย่างที่จะแสดงต่อไปนี้จะอาศัยการเคลื่อนที่ในแนวแกน และแนวแกน มาอธิบายถึงการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์

ตัวอย่างที่ 3.6 นักเบสบอลขว้างลูกบอลออกไปในแนวระดับด้วยความเร็ว 42.5 m ที่ระยะสูงจากพื้นดิน 2 m ดังรูปที่ 3.8

ก. เวลาที่ลูกบอลเคลื่อนที่ถึงคนรับลูกซึ่งอยู่ห่างจากคนขว้าง 18.5 m

ข. ลูกบอลจะอยู่สูงจากพื้นเท่าใด

รูปที่ 3.8

วิธีทำ ตั้งแกนอ้างอิงที่พื้น (จุดเริ่มต้นไม่ได้อยู่ที่จุด 0,0) เมื่อ

ค่าตามแกน

; ; ; ; ;

ค่าตามแกน

; ; ; ;

ก. หาเวลาจากการเคลื่อนที่ในแนวแกน

เนื่องจากเป็นการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์ความเร่งในแนวแกน เป็นศูนย์

จะได้

= =

ข. พิจารณาการเคลื่อนที่ในแนวแกน เมื่อความเร็วต้นในแนวแกน เป็นศูนย์

แต่

ตัวอย่างที่ 3.7 ที่สนามเบสบอลแห่งหนึ่งฐานที่หนึ่งอยู่ห่างจากฐานที่สาม ผู้รักษาฐานที่สามขว้างลูกบอลออกไปด้วยความเร็ว ทำมุม กับแนวระดับที่ความสูงเดียวกันไปยังฐานที่หนึ่ง จงหามุม ดังรูปที่ 3.9

รูปที่ 3.9

วิธีทำ แกนอ้างอิงอยู่ที่มือคนขว้าง เมื่อ

ค่าตามแกน

; ; ;

ค่าตามแกน

; ; ; ;

พิจารณาการเคลื่อนที่ในแนวแกน

เมื่อ ;

พิจารณาการเคลื่อนที่ในแนวแกน

แทนค่า จากสมการข้างบน

แต่ จะได้

แทนค่าต่าง ๆ ลงในสมการเมื่อ

ตัวอย่างที่ 3.8 นายพรานเล็งปืนไปที่ลิงซึ่งเกาะอยู่ที่กิ่งไม้ ขณะที่นายพรานยิงปืนลิงก็ปล่อยมือจากกิ่งไม้พร้อมกัน ดังรูปที่ 3.10 จงแสดงให้เห็นว่านายพรานยิงปืนถูกลิง โดยไม่คำนึงถึงความเร็วต้น

วิธีทำ ให้ปากกระบอกปืนเป็นระดับอ้างอิง

ค่าต่าง ๆ คิดที่ลิง (monkey) ค่าตามแกน ไม่มี มีเฉพาะค่าตามแกน

; ; ; ; ;

ค่าต่าง ๆ คิดที่กระสุน (bullet)

ค่าตามแกน

, ; ;

ค่าตามแกน

; ; ; ;

รูปที่ 3.10

พิจารณาที่ลิงเมื่อลิงเคลื่อนที่ตามแนวดิ่ง

= ……(1)

พิจารณาที่ลูกกระสุนแยกพิจารณาเป็น

การเคลื่อนที่ในแนวแกน

= …..(2)

การเคลื่อนที่ในแนวแกน

= .…(3)

แทนค่า จากสมการที่ (2) ลงในสมการที่ (3)

แต่ ดังนั้นจะได้

= =

นั่นคือกระสุนจะโดนลิง จะสังเกตุได้ง่ายในกรณีที่ไม่มีแรงโน้มถ่วงกระสุนจะยิงถูกลิงเหมือนกัน เนื่องจากทั้งลิงและกระสุนไม่มีแรงกระทำในแนวดิ่ง

3.3 การเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอ

พิจารณาการเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอใน 2 มิติ การเคลื่อนที่แบบวงกลมหมายถึง สม่ำเสมอหมายถึง ในที่นี่จะกล่าวถึงการเคลื่อนที่แบบวงกลมด้วยความเร็วคงที่ พิจารณาความเร่งของปลายเข็มทั้งสองของเข็มนาฬิกาในตัวอย่างที่ 3.4 ดังรูปที่ 3.11 ก. เมื่อเวกเตอร์ความเร็วคือเส้นสัมผัสวงกลมที่จุดใด ๆ ดังนั้น ความเร็วเริ่มต้นและความเร็วสุดท้ายสามารถเขียนอยู่ในรูปของเวกเตอร์ได้ดังรูป 3.11 ข. จะได้ส่วนประกอบในระบบพิกัดฉากของความเร็วต้น และความสุดท้าย คือ

รูปที่ 3.11 ก. รูปที่ 3.11 ข.

และ =

เมื่อ คืออัตราเร็วของปลายเข็มทั้งสอง ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงความเร็วคือ

ถ้า มีค่าน้อยมาก ๆ

จะได้ =

จากนิยามความเร่ง = =

นั่นคือความเร็วจะคงที่ แต่ความเร่งมีทิศสู่ศูนย์กลางเรียกว่า "ความเร่งสู่ศูนย์กลาง "

แทนด้วย

วัตถุยังคงเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอ แต่ความเร่งมีทิศเข้าสู่ศูนย์กลางโดยมีขนาดคงที่

ตัวอย่างที่ 3.9 จงหา ก. ความเร็ว ข. ความเร่ง ของคนที่ยืนอยู่ที่จุดศูนย์สูตร

วิธีทำ ก. ความเร็วคือระยะทางที่เคลื่อนที่ต่อเวลา

= =

ข. ความเร่งที่เกิดขึ้นคือความเร่งสู่ศูนย์กลาง

= =

การหาสมการความเร่ง ความเร็ว และตำแหน่งเป็นฟังก์ชั่นของเวลา และ ความเร่ง ความเร็ว เป็นฟังก์ชั่นของตำแหน่งของวัตถุเมื่อเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอ ดังรูปที่ 3.12 เริ่มต้นวัตถุอยู่บนแกน มีความเร็ว ทิศตามแกน เมื่อเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ จะได้สมการเคลื่อนที่